Fonction exponentielle : cours de maths · Terminale complémentaires

Définition, signe et courbe

La fonction exponentielle est définie et dérivable sur $\mathbb R$. Elle est égale à sa dérivée et vaut $1$ en $0$. On note $\exp(x)=e^x$ ; $e=\exp(1)\approx2{,}718$.

(e^x)'=e^x,\qquad e^0=1.

Pour tout réel $x$, $e^x>0$. La fonction est continue et strictement croissante sur $\mathbb R$.

\lim_{x\to-\infty}e^x=0,\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty.

Exponentielle strictement croissante au-dessus de l'axe et repères(0;1),(1;e).

$y=0$ est une asymptote en $-\infty$ : l’exponentielle ne s’annule jamais.

Transformer une expression

Pour tous réels $a,b$ et tout entier naturel $n$ :

e^{a+b}=e^ae^b,\qquad e^{-a}=\frac1{e^a},\qquad e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b},\qquad(e^a)^n=e^{na}.

Les dénominateurs sont strictement positifs. Par exemple :

\frac{e^{x+2}}{e^{2x-1}}=e^{(x+2)-(2x-1)}=e^{3-x}.

Comprendre pourquoi — Justifier l’inverse et le quotient

Pour tous réels $a,b$, $e^ae^{-a}=e^0=1$ et $e^a>0$, donc $e^{-a}=\frac1{e^a}$. Puis $e^{a-b}=e^ae^{-b}=\frac{e^a}{e^b}$.

Résoudre une équation ou une inéquation

Pour tous réels $a,b$ :

e^a=e^b\ \Longleftrightarrow\ a=b,\qquad e^a<e^b\ \Longleftrightarrow\ a<b.

Les équivalences valent aussi avec $\le$, $>$ et $\ge$. Pour comparer à $1$, écrire $1=e^0$.

Pour un réel $k>0$, $e^x=k$ a une unique solution $x=\ln k$. Si $k\le0$, il n’y a aucune solution réelle. Le logarithme, défini sur $]0;+\infty[$, est la réciproque de l’exponentielle ; dans un repère orthonormé, leurs courbes sont symétriques par rapport à $y=x$.

Voir un exemple — Résoudre une inéquation entre exponentielles

Pour $x\in\mathbb R$, la stricte croissance de l’exponentielle donne :

\begin{aligned}e^{3x-2}>e^{x+4}&\iff3x-2>x+4\\&\iff2x>6\\&\iff x>3.\end{aligned}

L’ensemble des solutions est $]3;+\infty[$.

Dériver une exponentielle composée

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $e^u$ l’est aussi et :

\[(e^u)'=u'e^u.\]

Multiplier par la dérivée intérieure $u'$. Aucune condition de positivité n’est nécessaire sur $u$ ; l’exponentielle obtenue est toujours strictement positive.