Fonction logarithme népérien : cours de maths · Terminale complémentaires

Définition, ordre et signe

Pour $x>0$, $\ln x$ est l’unique réel $y$ tel que $e^y=x$. Le logarithme est défini seulement sur $]0;+\infty[$.

\ln(e^y)=y\quad(y\in\mathbb R),\qquad e^{\ln x}=x\quad(x>0),\qquad\ln1=0,\quad\ln e=1.

Il est strictement croissant. Pour $a,b>0$, $\ln a=\ln b$ équivaut à $a=b$, et $\ln a<\ln b$ à $a<b$. Son signe est négatif pour $0<x<1$, nul pour $x=1$, positif pour $x>1$.

Règles de calcul

Pour $a,b>0$ et tout entier relatif $n$ :

\ln(ab)=\ln a+\ln b,\qquad\ln\!\left(\frac1a\right)=-\ln a,\qquad\ln\!\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,\qquad\ln(a^n)=n\ln a.

Il n’existe pas de règle analogue pour une somme : $\ln(a+b)$ ne se remplace pas par $\ln a+\ln b$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le logarithme transforme un produit en somme

Pour $a,b>0$, $e^{\ln a+\ln b}=ab$ : l’unique exposant de $ab$ est $\ln a+\ln b$. Appliquer la relation au produit $a\times\frac1a=1$ donne $\ln(\frac1a)=-\ln a$.

Voir un exemple — Regrouper des logarithmes en une seule expression

Regrouper une expression

Les arguments étant positifs, on peut écrire

\begin{aligned} 2\ln(3)-\ln(2)&=\ln(3^2)-\ln(2)\\ &=\ln\!\left(\frac92\right). \end{aligned}

Dérivée, limites et courbe

Le logarithme est continu et dérivable sur $]0;+\infty[$. Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ :

\ln'(x)=\frac1x\quad(x>0),\qquad(\ln u)'=\frac{u'}u\quad\text{sur }I.

\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.

$x=0$ est une asymptote verticale ; la courbe passe par $(1;0)$ et $(e;1)$.

Courbe logarithme croissante, passant par (1,0) et (e,1), descendant sans borne au voisinage droit de l'axe vertical.

Voir un exemple — Déterminer le domaine avant de dériver

La fonction $g(x)=\ln(4-x^2)$ est définie lorsque $4-x^2>0$, soit sur $]-2;2[$. L’argument $u(x)=4-x^2$ y est dérivable et strictement positif. Avec $u'(x)=-2x$ :

g'(x)=\frac{-2x}{4-x^2}\qquad(x\in]-2;2[).

Résoudre en respectant le domaine

Commencer par imposer que chaque argument est strictement positif. Sur ce domaine, utiliser les règles de calcul puis la stricte croissance pour supprimer les logarithmes. Vérifier que les solutions obtenues appartiennent au domaine.

Voir un exemple — Filtrer les candidats

$\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln8$ impose $x>1$. Sur ce domaine :

\begin{aligned}\ln((x-1)(x+1))=\ln8&\Longleftrightarrow x^2-1=8\\&\Longleftrightarrow x=-3\text{ ou }x=3.\end{aligned}

Seul $3$ satisfait $x>1$.

Trouver un rang avec un logarithme

Pour $q>0$, transformer $q^n$ avec $\ln(q^n)=n\ln q$. Si $q>1$, diviser par $\ln q>0$ garde le sens de l’inégalité ; si $0<q<1$, diviser par $\ln q<0$ l’inverse. Si $q=1$, comparer directement la valeur constante au seuil.

Choisir ensuite le premier entier satisfaisant l’inégalité et contrôler les termes voisins, en distinguant un seuil strict d’un seuil large.