Primitives, intégrales et calcul d’aires : cours de maths · Terminale complémentaires

Une primitive et sa constante

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$. Pour la vérifier, dériver $F$.

Si $f$ est continue sur $I$ et $F$ une primitive, toutes ses primitives sont $F+C$, avec $C\in\mathbb R$. Deux primitives diffèrent d’une constante sur cet intervalle.

Exemple : les primitives de $2x+1$ sont $x^2+x+C$ ; imposer $F(0)=3$ donne $C=3$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les primitives diffèrent d’une constante

Sur l’intervalle $I$, deux primitives $F,G$ vérifient $(G-F)'=0$ : leur différence est constante. Réciproquement, ajouter une constante à $F$ ne change pas sa dérivée.

Reconnaître des primitives

Fonction	Une primitive	Domaine
$1$	$x$	$\mathbb R$
$x^n,\ n\in\mathbb N$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb R$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb R$
$\frac1x$	$\ln\|x\|$	$]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$

Ajouter $C\in\mathbb R$ pour obtenir toutes les primitives. Si $F,G$ sont primitives de $f,g$ sur le même intervalle, $\alpha F+\beta G$ est une primitive de $\alpha f+\beta g$, pour $\alpha,\beta$ réels.

Si $u$ est dérivable sur $I$, lire les identités dans le sens primitive :

2uu'\longmapsto u^2,\qquad u'e^u\longmapsto e^u,\qquad \frac{u'}u\longmapsto\ln|u|\ \text{si }u\ne0\text{ sur }I.

Comprendre pourquoi — Pourquoi utiliser le logarithme de la valeur absolue

Une fonction dérivable $u$ qui ne s’annule pas sur un intervalle garde un signe constant par continuité. Pour $u>0$, $(\ln u)'=\frac{u'}u$. Pour $u<0$, $(\ln(-u))'=\frac{-u'}{-u}=\frac{u'}u$.

Intégrale et aire algébrique

Pour $f$ continue et positive ou nulle sur $[a;b]$, $a<b$, $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$ est l’aire sous la courbe, en unités d’aire. Avec des bornes fixées, l’intégrale est un nombre. La variable peut être renommée.

Pour $f$ continue de signe quelconque, les régions au-dessus de l’axe contribuent positivement et celles au-dessous négativement. Une aire géométrique reste positive ou nulle.

La figure distingue les deux contributions pour $f(x)=x-1$ sur $[0;3]$.

Deux triangles : négatif de 0 à 1, positif de 1 à 3, séparés par l'intersection (1,0).

\int_a^a f=0,\qquad\int_b^a f=-\int_a^b f,\qquad\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f.

Pour Chasles, $f$ doit être continue sur un intervalle contenant $a,b,c$.

Voir un exemple — Distinguer l’aire géométrique de l’intégrale

Aire et aire algébrique

Pour $f(x)=x-1$ sur $[0;3]$, la partie sous l'axe est un triangle d'aire $\frac{1}{2}$ ; celle au-dessus est un triangle d'aire $2$.

\int_0^3(x-1)\,\mathrm dx=-\frac12+2=\frac32.

L'aire géométrique totale vaut $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$ unités d'aire.

Calculer et encadrer une intégrale

Si $f$ est continue sur $[a;b]$, $a<b$, $A(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt$ est une primitive de $f$ et $A(a)=0$. Aux extrémités, la dérivée est considérée du côté de l’intervalle.

Pour toute primitive $F$ de $f$ :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a).

Pour $f,g$ continues sur $[a;b]$, $a<b$, et $\alpha,\beta$ réels :

\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.

Si $f\le g$ sur tout l’intervalle, alors $\int_a^b f\le\int_a^b g$. Si $m\le f\le M$, alors :

m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a).

Aire entre courbes et valeur moyenne

Pour $f,g$ continues sur $[a;b]$, $a<b$, avec $f\le g$, l’aire entre leurs courbes vaut :

\mathcal A=\int_a^b(g-f).

Intégrer la fonction du haut moins celle du bas. Si l’ordre change, découper aux intersections et additionner les aires positives.

Région entre la diagonale et la parabole, de leurs intersections d'abscisses 0 et 1.

Pour $f$ continue sur $[a;b]$, $a<b$, sa valeur moyenne est :

\mu=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.

Si $m\le f\le M$, alors $m\le\mu\le M$. Si $f\ge0$, le rectangle de largeur $b-a$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que la région sous la courbe.

Voir un exemple — Calculer une valeur moyenne

Sur $[0;1]$, une primitive de $e^x$ est $e^x$, donc :

\int_0^1e^x\,\mathrm dx=[e^x]_0^1=e-1.

La longueur de l’intervalle vaut $1$. La valeur moyenne est donc $\mu=e-1\approx1{,}7183$. Le rectangle de largeur $1$ et de cette hauteur a la même aire que la région sous la courbe.

Approcher par des rectangles

Pour $f$ continue, positive ou nulle et croissante sur $[a;b]$, $a<b$, choisir un entier $n\ge1$, $h=\frac{b-a}{n}$ et $x_k=a+kh$. Les rectangles gauches minorent l’aire ; les droits la majorent :

L_n=h\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k),\qquad U_n=h\sum_{k=1}^n f(x_k),\qquad L_n\le\int_a^b f\le U_n.

U_n-L_n=\frac{b-a}{n}\bigl(f(b)-f(a)\bigr)\longrightarrow0.

Quatre bandes de largeur un quart sous l'exponentielle sur [0;1]. Les rectangles gauches pleins minorent l'aire ; les rectangles droits en contours pointillés la majorent.

Voir un exemple — Calculer les deux sommes pour quatre rectangles

Quatre bandes sous l'exponentielle

Sur $[0;1]$, $e^x$ est croissante. Avec $h=\frac{1}{4}$, la somme à gauche est

L_4=\frac14(1+e^{\frac{1}{4}}+e^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{3}{4}})\approx1{,}5124.

La somme à droite est

U_4=\frac14(e^{\frac{1}{4}}+e^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{3}{4}}+e)\approx1{,}9420.

Ainsi $L_4\leqslant\int_0^1 e^x\,\mathrm dx\leqslant U_4$. Augmenter le nombre de bandes permet de resserrer cet encadrement ; les hauteurs voisines se rapprochent par continuité.