CoursTerminale maths complémentaires
Équations différentielles et modèles continus
Solution et condition initiale
Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée. Une solution de $y'=ay+b$ sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ dérivable telle que $f'(x)=af(x)+b$ pour tout $x\in I$. Les coefficients $a,b$ sont réels et constants.
Une condition initiale $f(x_0)=y_0$, avec $x_0\in I$, impose le passage par $(x_0;y_0)$. Pour vérifier une fonction, contrôler l’équation sur tout l’intervalle puis la condition initiale. Une bonne valeur en $x_0$ ne suffit pas.
Voir un exemple — Vérifier l’équation et la condition initiale
Vérifier l'équation et la valeur initiale
Pour $y'=-y+2$ avec $y(0)=5$, $f(x)=2+3e^{-x}$ satisfait $f'(x)=-3e^{-x}=-f(x)+2$ pour tout réel et $f(0)=5$.
$g(x)=2+3e^x$ vérifie aussi $g(0)=5$, mais $g'(x)=3e^x\ne-3e^x=-g(x)+2$. Elle n'est donc pas solution de l'équation différentielle.
Résoudre y′ = ay
Pour $a\in\mathbb R$, les solutions sur un intervalle sont exactement :
$C=0$ donne la solution nulle ; $a=0$ donne toutes les fonctions constantes. Pour fixer $C$, remplacer $x$ par l’abscisse de la condition initiale.
Voir un exemple — Une valeur en 2
$2y'+3y=0$ donne $y(x)=Ce^{-\frac{3x}{2}}$. La condition $y(2)=4$ donne $Ce^{-3}=4$, donc :
Comprendre pourquoi — Retrouver toutes les solutions de y′ = ay
Dériver $Ce^{ax}$ donne $aCe^{ax}$ pour tout réel $C$. Réciproquement, si $y'=ay$ sur un intervalle, $(ye^{-ax})'=e^{-ax}(y'-ay)=0$. Le produit est constant : toutes les solutions sont $Ce^{ax}$, y compris pour $a=0$.
Résoudre y′ = ay + b
Si $a\ne0$, chercher une solution constante $\ell$ par $a\ell+b=0$. Puis poser $z=y-\ell$, qui vérifie $z'=az$.
Si $a=0$, résoudre directement $y'=b$ :
Pour $a=0,b\ne0$, aucune solution n’est constante ; pour $a=b=0$, elles le sont toutes. Dans chaque famille, substituer la condition initiale pour déterminer $C$, puis vérifier la fonction obtenue.
Comprendre pourquoi — Ramener l’équation affine à l’équation homogène
Pour $a\ne0$, une constante vérifie $a\ell+b=0$, soit $\ell=-\frac ba$. Poser $z=y-\ell$ donne $z'=az$, donc $y=\ell+Ce^{ax}$. Réciproquement, dériver chaque fonction de cette famille vérifie l’équation.
Voir un exemple — Déterminer une solution à partir de l’équilibre
Partir d'une solution constante
$2y'-y=-2$ équivaut à $y'=\frac y2-1$. La constante d'équilibre est $2$. En posant $z=y-2$, on obtient $z'=\frac z2$ ; les solutions sur $\mathbb R$ sont donc $y(x)=2+Ce^{\frac x2}$.
$f(0)=3$ impose $C=1$, donc $f(x)=2+e^{\frac x2}$. Sa dérivée vaut $\frac{e^{\frac x2}}2$ et $2f'(x)-f(x)=-2$ pour tout réel : l'équation et la valeur initiale sont vérifiées.
Lire les courbes solutions
Pour $a\ne0$, une solution $y=\ell+Ce^{ax}$ vérifie :
Comme l’exponentielle est positive, le signe de $C$ situe la courbe par rapport à $y=\ell$ ; le signe de $aC$ donne les variations. $C=0$ correspond à l’équilibre. Deux constantes différentes donnent des courbes qui ne se coupent pas.
Pour $y'=-y+2$, les solutions sont $2+Ce^{-x}$. La figure montre deux courbes et l’équilibre $2$ ; toutes tendent vers $2$ en $+\infty$.
