Conditionnement, indépendance et raisonnement bayésien : cours de maths · Terminale complémentaires

Probabilité sachant un événement

$\mathbb P_A(B)$ signifie « probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ». On se restreint aux cas où $A$ se réalise. Si $\mathbb P(A)>0$ :

\mathbb P_A(B)=\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(A)},\qquad \mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P_A(B).

$\mathbb P_A(B)$ et $\mathbb P_B(A)$ n’ont généralement pas la même valeur : le groupe de référence change.

Arbre et probabilités totales

Dans un arbre pondéré, les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à $1$. Multiplier les probabilités le long d’un chemin donne la probabilité de son intersection. Additionner les chemins qui aboutissent à $B$ donne $\mathbb P(B)$.

Si $A_1,\ldots,A_r$ sont deux à deux incompatibles, couvrent tout l’univers et ont chacun une probabilité strictement positive :

\mathbb P(B)=\sum_{i=1}^{r}\mathbb P(A_i)\mathbb P_{A_i}(B).

En particulier, pour $0<\mathbb P(A)<1$ :

\mathbb P(B)=\mathbb P(A)\mathbb P_A(B)+\mathbb P(\overline A)\mathbb P_{\overline A}(B).

Comprendre pourquoi — Pourquoi les probabilités totales s’additionnent

La partition découpe $B$ en intersections incompatibles $A_i\cap B$. Leurs probabilités s’additionnent ; chacune vaut $\mathbb P(A_i)\mathbb P_{A_i}(B)$ puisque $\mathbb P(A_i)>0$.

Inverser le conditionnement

Si $\mathbb P(A)>0$ et $\mathbb P(B)>0$, la formule de Bayes donne :

\mathbb P_B(A)=\frac{\mathbb P_A(B)\mathbb P(A)}{\mathbb P(B)}.

$\mathbb P(A)$ est la probabilité a priori ; après l’observation de $B$, $\mathbb P_B(A)$ est la probabilité a posteriori. Calculer d’abord $\mathbb P(B)$ si elle n’est pas donnée.

Voir un exemple — Un calcul d’inversion

On connaît $\mathbb P(D)=0{,}04$, $\mathbb P_D(T)=0{,}95$ et $\mathbb P_{\overline D}(T)=0{,}10$. Les probabilités totales puis Bayes donnent :

\mathbb P(T)=0{,}04\times0{,}95+0{,}96\times0{,}10=0{,}134,\qquad \mathbb P_T(D)=\frac{0{,}038}{0{,}134}=\frac{19}{67}\approx0{,}284.

Le dénominateur est la probabilité de l’événement après « sachant que ».

Comprendre pourquoi — D’où vient la formule de Bayes

Le groupe de référence est $B$ : le dénominateur est $\mathbb P(B)>0$. Le numérateur $\mathbb P(A\cap B)$ vaut $\mathbb P(A)\mathbb P_A(B)$, défini car $\mathbb P(A)>0$.

Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :

\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B).

Si $\mathbb P(A)>0$, cela équivaut à $\mathbb P_A(B)=\mathbb P(B)$ : connaître $A$ ne change pas la probabilité de $B$.

Deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ne sont pas indépendants. Avoir la même probabilité à chaque répétition ne suffit pas à établir l’indépendance.