Schémas de Bernoulli et loi binomiale : cours de maths · Terminale complémentaires

Loi uniforme et espérance

La loi d’une variable aléatoire donne ses valeurs possibles et leurs probabilités. Pour un nombre fini de valeurs $x_i$, son espérance est une moyenne pondérée :

E(X)=\sum_i x_i\mathbb P(X=x_i).

Elle n’est pas nécessairement une valeur possible. Pour $m$ entier strictement positif, la loi uniforme sur $\{1;\ldots;m\}$ donne :

\mathbb P(X=k)=\frac1m\quad(1\le k\le m),\qquad E(X)=\frac{m+1}{2}.

Épreuve et loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès de probabilité $p$ et échec de probabilité $1-p$, avec $0\le p\le1$. La variable $B$ vaut $1$ au succès et $0$ à l’échec.

E(B)=p,\qquad V(B)=p(1-p),\qquad \sigma(B)=\sqrt{p(1-p)}.

L’écart type mesure la dispersion autour de l’espérance. « Succès » désigne seulement l’issue comptée.

Comprendre pourquoi — Retrouver l’espérance et la variance de Bernoulli

On considère une variable $B$ de Bernoulli, avec $0\leq p\leq1$. On utilise la définition de l'espérance et la formule $V(B)=E(B^2)-E(B)^2$.

Les deux valeurs possibles sont $0$ et $1$, de probabilités $1-p$ et $p$. Donc

E(B)=0\times(1-p)+1\times p=p.

Pour chacune des valeurs $0$ et $1$, le carré égale la valeur elle-même. Ainsi $B^2=B$ et $E(B^2)=p$. On en déduit

\[V(B)=p-p^2=p(1-p).\]

Comme $0\leq p\leq1$, ce produit est positif ou nul. L'écart type, racine carrée de la variance, vaut donc $\sqrt{p(1-p)}$.

Schéma et coefficients binomiaux

Un schéma de Bernoulli répète un nombre fixé $n$ d’épreuves indépendantes, toutes de même probabilité de succès $p$. L’arbre à deux épreuves montre des branches $p$ et $q=1-p$ à chaque niveau.

Schéma de Bernoulli à deux épreuves, branches de succès p et d'échec q.

Pour $n\ge0$ entier et $0\le k\le n$ entier, $\binom nk$ compte les façons de placer $k$ succès parmi $n$ épreuves.

\binom n0=\binom nn=1,\qquad\binom nk=\binom n{n-k}.

Le triangle de Pascal place $1$ aux bords et additionne les deux nombres situés au-dessus. Pour $n\ge2$ et $1\le k\le n-1$ :

\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k.

Voir un exemple — Compter les chemins donnant un seul succès

Deux épreuves

On note $q=1-p$. Dans cet arbre à deux niveaux, chaque branche de succès porte $p$, quels que soient les résultats précédents : c'est l'effet de l'indépendance.

Les chemins $S\overline S$ et $\overline SS$ donnent chacun un seul succès. Leurs probabilités sont $pq$ et $qp$. Comme ces chemins sont incompatibles, la probabilité d'un seul succès vaut

\[pq+qp=2p(1-p).\]

Loi binomiale

Le nombre $X$ de succès d’un schéma de Bernoulli suit $\mathcal B(n;p)$ et prend les valeurs $0,\ldots,n$. Pour $n\ge1$, $0<p<1$ et $k$ entier de $0$ à $n$ :

\mathbb P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.

Si $p=0$, $X=0$ certainement ; si $p=1$, $X=n$ certainement. Pour $n=0$, $X=0$ certainement. Ces cas évitent d’écrire $0^0$.

E(X)=np,\qquad\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\quad\text{(admis).}

Exemple : pour $X\sim\mathcal B(4;0{,}3)$, $\mathbb P(X=2)=6\times0{,}3^2\times0{,}7^2=0{,}2646$. Chaque bâton du diagramme a pour hauteur $\mathbb P(X=k)$ ; la somme des hauteurs vaut $1$.

Distribution de B(4;0,3) en bâtons, et non une courbe de densité.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le coefficient binomial multiplie la probabilité

Pour $n\geqslant1$ et $0<p<1$, chaque chemin à $k$ succès a la probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ par indépendance. Les $\binom nk$ chemins sont incompatibles : leurs probabilités s’additionnent. Les cas $p=0$, $p=1$ et $n=0$ se traitent directement sans $0^0$.

Probabilités cumulées et intervalles

Poser $F(k)=\mathbb P(X\le k)$, avec $F(-1)=0$. Une calculatrice peut fournir ces probabilités cumulées. Pour $0\le a\le b\le n$ entiers :

\mathbb P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-1),\qquad\mathbb P(X\ge a)=1-F(a-1).

« Au moins $a$ » inclut $a$ ; son contraire est « au plus $a-1$ ». Pour choisir un intervalle sous une contrainte de probabilité, calculer sa probabilité et la comparer au seuil demandé. $F$ est croissante ; contrôler la borne précédente si une borne minimale est demandée.

Premier succès : loi géométrique

La loi binomiale compte les succès dans un nombre fixé d’essais ; la loi géométrique compte les essais jusqu’au premier succès. Pour des épreuves indépendantes de même paramètre $0<p\le1$, le rang $X$ du premier succès appartient à $\mathbb N^*$.

Pour $0<p<1$, avec $q=1-p$ et $k\ge1$ entier :

\mathbb P(X=k)=q^{k-1}p,\qquad E(X)=\frac1p\quad\text{(admis).}

Pour $p=1$, $X=1$ certainement. Poser $S(0)=1$ ; pour $n\ge1$ entier :

S(n)=\mathbb P(X>n)=q^n,\qquad \mathbb P(X\le n)=1-q^n.

Pour une variable à valeurs dans $\mathbb N^*$, la loi est géométrique si et seulement si $S(m+n)=S(m)S(n)$ pour tous entiers $m,n\ge0$. Si $S(m)>0$, cela donne :

\mathbb P_{\{X>m\}}(X>m+n)=\mathbb P(X>n).

Après $m$ échecs, l’attente supplémentaire a la même loi qu’au départ. Le diagramme illustre les six premiers rangs pour $p=0{,}25$ ; la loi continue au-delà.

Six premières probabilités de la loi géométrique de paramètre 0,25.

Voir un exemple — Calculer une probabilité après quatre échecs

Soit $X$ le rang du premier succès d’épreuves indépendantes de même paramètre $p=0{,}25$. Alors $q=0{,}75$ et $P(X>4)=q^4>0$. L’absence de mémoire permet de calculer :

P(X>7\mid X>4)=P(X>3)=0{,}75^3=0{,}421875.

Les trois essais supplémentaires ont la même probabilité de tous échouer que les trois premiers.