Nombres complexes : géométrie et formes trigonométriques : cours de maths · Terminale expertes

Affixes et distances

Dans un repère orthonormé direct, le point $M(x;y)$ a pour affixe $z_M=x+iy$. L'axe horizontal est réel, l'axe vertical imaginaire. Les images de $z$ et $\overline z$ sont symétriques par rapport à l'axe réel.

Le conjugué conserve l'abscisse et change le signe de l'ordonnée.

Pour $A,B$ d'affixes $a,b$, l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $b-a$, celle du milieu de $[AB]$ est $\frac{a+b}{2}$. Le module mesure une longueur :

|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad AB=|b-a|.

$|z|\geq0$ et $|z|=0$ si et seulement si $z=0$. Pour un réel, le module est la valeur absolue.

Calculer avec les modules

|z|^2=z\overline z,\qquad|zw|=|z|\,|w|,\qquad|\overline z|=|-z|=|z|.

\left|\frac{1}{w}\right|=\frac{1}{|w|},\qquad\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}\qquad(w\ne0).

$|z^m|=|z|^m$ pour $m\geq1$ entier ; pour $z\ne0$, cette relation vaut pour tout $m\in\mathbb Z$.

$\mathbb U=\{z:|z|=1\}$ est le cercle unité. Si $z,w\in\mathbb U$, alors $zw$ et $\frac{1}{z}$ appartiennent aussi à $\mathbb U$.

Voir un exemple — Calculer un module sans développer

Éviter un développement inutile

Pour trouver le module de $Z=\frac{(2-\mathrm i)^4}{(3+4\mathrm i)}$, on utilise sa structure de puissance et de quotient :

\begin{aligned}|Z|&=\frac{|2-\mathrm i|^4}{|3+4\mathrm i|}\\ &=\frac{(\sqrt5)^4}{5}=5.\end{aligned}

Le dénominateur est non nul. Le calcul du module ne nécessite pas de déterminer la forme algébrique de $Z$.

Arguments et formes d’un complexe

Pour $z\ne0$, un argument est une mesure en radians de la direction de son image depuis l'origine. Si $\theta$ en est un, tous sont $\theta+2k\pi$ avec $k\in\mathbb Z$. Zéro n'a pas d'argument.

Le point N est l'intersection de la demi-droite OM avec le cercle unité ; l'arc fléché indique theta.

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta},\qquad r=|z|>0,\qquad e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Pour passer de $x+iy$ à cette forme, calculer $r=\sqrt{x^2+y^2}$ puis chercher $\theta$ tel que $\cos\theta=\frac{x}{r}$ et $\sin\theta=\frac{y}{r}$. Par exemple, $-\sqrt3+i=2e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

Pour $z=re^{i\alpha}$, $w=se^{i\beta}$ avec $r,s>0$, et $m\in\mathbb Z$ :

zw=rse^{i(\alpha+\beta)},\qquad\frac{z}{w}=\frac{r}{s}e^{i(\alpha-\beta)},\qquad z^m=r^me^{im\alpha}.

\overline z=re^{-i\alpha},\qquad-z=re^{i(\alpha+\pi)}.

Deux complexes non nuls sont égaux s'ils ont le même module et des arguments égaux modulo $2\pi$. Utiliser la forme algébrique pour les sommes, l'exponentielle pour les produits, quotients et puissances.

Formules de trigonométrie

Pour $\alpha,\beta\in\mathbb R$ :

\begin{aligned}\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,\\\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\\\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.\end{aligned}

\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha,\qquad\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha.

Pour $x\in\mathbb R$, les formules d'Euler sont :

\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\qquad\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.

Pour $x\in\mathbb R$ et $m\in\mathbb Z$, la formule de Moivre donne :

(\cos x+i\sin x)^m=\cos(mx)+i\sin(mx).

Voir un exemple — Utiliser Euler pour linéariser un carré

Euler transforme un carré en une somme

Les formules d'Euler permettent de linéariser une expression, c'est-à-dire ici de remplacer un carré par une expression sans puissance de sinus ni de cosinus :

\begin{aligned}\sin^2x &=\left(\frac{\mathrm e^{\mathrm i x}-\mathrm e^{-\mathrm i x}}{2\mathrm i}\right)^2\\ &=-\frac{\mathrm e^{2\mathrm i x}-2+\mathrm e^{-2\mathrm i x}}4\\ &=\frac{1-\cos(2x)}2.\end{aligned}

Le signe moins vient de $(2\mathrm i)^2=-4$. On retrouve l'une des formules de duplication sous une autre forme.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la formule de cosinus fonctionne

On considère deux vecteurs unitaires $\vec p$ et $\vec q$ de coordonnées

\vec p\begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix},\qquad \vec q\begin{pmatrix}\cos\beta\\\sin\beta\end{pmatrix}.

Leurs directions forment un angle de mesure $\beta-\alpha$ à $2\pi$ près. La formule géométrique du produit scalaire donne

\vec p\cdot\vec q=1\times1\times\cos(\beta-\alpha)=\cos(\alpha-\beta),

car le cosinus est pair. Le calcul par coordonnées donne aussi

\vec p\cdot\vec q=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.

Ces deux expressions du même produit scalaire établissent la première formule.

Lire une configuration du plan

Pour des points $A,B,C$ d'affixes $a,b,c$ avec $b\ne a$, poser $q=\frac{c-a}{b-a}$. Alors $|q|=\frac{AC}{AB}$. Si $c\ne a$, un argument de $q$ mesure l'angle orienté $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$, modulo $2\pi$.

Les vecteurs d'affixes b-a et c-a partent de A ; l'arc est orienté du premier vers le second, conformément au quotient (c-a)/(b-a).

Pour trois points deux à deux distincts : ils sont alignés si et seulement si $q$ est réel ; $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si $q$ est imaginaire pur.

Les modules permettent aussi de lire des lieux : $|z-(1+i)|=2$ décrit le cercle de centre $(1;1)$ et de rayon $2$. L'égalité $|z+2|=|z-4|$ décrit la médiatrice des points d'affixes $-2$ et $4$, donc la droite $x=1$.

Racines de l’unité

Pour $n\geq1$ entier, les racines $n$-ièmes de l'unité sont les solutions de $z^n=1$. Il y en a exactement $n$, distinctes :

\mathbb U_n=\left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}}:k=0,\ldots,n-1\right\}.

Elles sont régulièrement espacées sur le cercle unité ; pour $n\geq3$, elles forment un polygone régulier.

\mathbb U_2=\{-1,1\},\quad\mathbb U_3=\left\{1,-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2},-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\right\},\quad\mathbb U_4=\{1,i,-1,-i\}.

Chaque passage au sommet suivant correspond à une rotation de $\frac{2\pi}{3}$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi il y a exactement n racines de l’unité

Pour $n\ge1$, $z^n=1$ impose $|z|=1$. Avec $z=e^{i\theta}$ et $0\le\theta<2\pi$, $n\theta$ est un multiple de $2\pi$. Donc $\theta=\frac{2k\pi}{n}$ pour $k\in\{0,\ldots,n-1\}$. Ces valeurs conviennent et sont distinctes modulo $2\pi$. Il y a exactement $n$ racines espacées de $\frac{2\pi}{n}$ ; pour $n\ge3$, elles forment un polygone régulier.