Matrices et calcul matriciel : cours de maths · Terminale expertes

Lire une matrice

Une matrice réelle $A=(a_{i,j})$ de format $m\times n$ a $m$ lignes et $n$ colonnes, avec $m,n\geq1$. Le coefficient $a_{i,j}$ se lit ligne $i$, colonne $j$. Deux matrices sont égales si leurs formats et tous leurs coefficients correspondent.

Une matrice ligne a une ligne ; une matrice colonne a une colonne. Une matrice carrée d'ordre $d$ a $d$ lignes et colonnes. La matrice nulle a tous ses coefficients nuls. Une matrice diagonale n'a que des zéros hors de la diagonale ; l'identité $I_d$ a des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs.

Pour $A,B$ de même format et $\lambda\in\mathbb R$ :

(A+B)_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j},\qquad(\lambda A)_{i,j}=\lambda a_{i,j},\qquad A-B=A+(-B).

Multiplier les matrices

Si $A$ a le format $m\times n$ et $B$ le format $n\times p$, alors $AB$ est défini et a le format $m\times p$. Pour chaque coefficient, multiplier les termes correspondants de la ligne $i$ de $A$ et de la colonne $j$ de $B$, puis additionner :

(AB)_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}.

Voir un exemple — Un produit ligne-colonne

A=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix},\quad AB=\begin{pmatrix}4&6\\-2&0\end{pmatrix}.

Par exemple, $(AB)_{1,1}=2\times1+1\times2=4$. Dans l'autre ordre, $BA=\begin{pmatrix}2&-2\\4&2\end{pmatrix}$ : en général $AB\ne BA$.

Dans les matrices de l'exemple, la première ligne de A contient 2 et 1 et la première colonne de B contient 1 et 2. Leur appariement donne le coefficient c_1,1=4 de AB.

Lorsque les formats permettent les calculs, $(AB)C=A(BC)$, $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$. Pour $A$ de format $m\times n$, $I_mA=AI_n=A$.

Inverse et système linéaire

Une matrice carrée $A$ d'ordre $d$ est inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $AB=BA=I_d$. Cet inverse est unique et se note $A^{-1}$. Une matrice carrée n'est pas toujours inversible.

Pour une matrice d'ordre $2$, si $ad-bc\ne0$ :

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.

Un système s'écrit $AX=B$ : les lignes de $A$ suivent l'ordre des équations et ses colonnes l'ordre des inconnues de $X$. Si $A$ est carrée inversible et $B$ une colonne de même hauteur, la solution unique est $X=A^{-1}B$. L'inverse multiplie à gauche.

Voir un exemple — Un système résolu

\begin{cases}2x+y=8\\x+y=5\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}.

Ici $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $ad-bc=1\ne0$.

Si la matrice est non inversible, étudier le système autrement : il peut avoir aucune solution ou une infinité de solutions.

Comprendre pourquoi — Pourquoi multiplier par l’inverse à gauche

Pour $A$ inversible d’ordre $n$ et des colonnes de hauteur $n$, multiplier $AX=B$ à gauche par $A^{-1}$ donne $X=A^{-1}B$. Réciproquement, $A(A^{-1}B)=B$. Cette colonne est l’unique solution. L’ordre des facteurs et les formats sont indispensables.

Puissances d’une matrice

Pour une matrice carrée $A$ d'ordre $d$, $A^0=I_d$ et $A^{n+1}=AA^n$ pour $n\in\mathbb N$. Pour $n\geq1$, $A^n$ est le produit de $n$ facteurs $A$. On utilise le produit ligne-colonne, sans élever séparément les coefficients.

A^{p+q}=A^pA^q,\qquad(A^p)^q=A^{pq}\qquad(p,q\in\mathbb N).

A=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\0&\frac{1}{4}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad A^2=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{16}\\0&\frac{1}{16}\end{pmatrix}.

Deux transformations du plan

Dans un repère orthonormé direct d'origine $O$, une colonne $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ représente un point. Les colonnes $SX$ et $RX$ représentent ses images :

S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}:\ (x;y)\mapsto(x;-y),\qquad R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}:\ (x;y)\mapsto(-y;x).

$S$ est la symétrie d'axe des abscisses ; $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ dans le sens direct. Pour $M(2;1)$, les images sont $(2;-1)$ et $(-1;2)$.

Un point, son symétrique et son image par un quart de tour direct.

Matrice d’adjacence

Fixer l'ordre des sommets. Pour un graphe simple non orienté, $g_{i,j}=1$ si $i$ et $j$ sont adjacents, $0$ sinon. La matrice est carrée, $g_{i,j}=g_{j,i}$, $g_{i,i}=0$, et la somme de la ligne $i$ est le degré du sommet $i$.

Pour un graphe orienté, la ligne indique le départ, la colonne l'arrivée : $g_{i,j}$ compte les arcs de $i$ vers $j$. La symétrie n'est plus garantie.

G=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}\qquad\text{dans l'ordre }P,Q,R,S.

Quatre sommets, dans l'ordre $P,Q,R,S$, et quatre arêtes.

Suites de matrices colonnes

Si $A$ est carrée d'ordre $d$ et $C,U_0$ des colonnes de hauteur $d$, $U_{n+1}=AU_n+C$ définit une suite pour $n\in\mathbb N$. Si $C$ est nulle, $U_n=A^nU_0$.

Si une colonne constante $L$ vérifie $L=AL+C$, poser $V_n=U_n-L$. Alors :

V_{n+1}=AV_n,\qquad U_n=L+A^n(U_0-L).

Pour trouver $L$, résoudre $(I_d-A)L=C$. Si $I_d-A$ est inversible, $L=(I_d-A)^{-1}C$. L'existence d'un état constant ne garantit pas la convergence : étudier $A^n(U_0-L)$.

Voir un exemple — Regrouper deux termes consécutifs

Regrouper deux termes consécutifs

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$, $u_1=2$ et

u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n\qquad(n\in\mathbb N).

Pour mémoriser les deux termes nécessaires au calcul du suivant, on pose

X_n=\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}, \qquad H=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}.

La relation de récurrence donne

X_{n+1}=\begin{pmatrix}2u_{n+1}+u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=HX_n.

Le terme initial est $X_0=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$. Au rang suivant,

X_1=\begin{pmatrix}2\times2+1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}.

On retrouve en particulier $u_2=5$. La propriété du cas sans terme constant donne, pour tout $n\in\mathbb N$,

X_n=H^n\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

L'ordre des composantes permet de lire sans confusion le terme cherché.

Comprendre pourquoi — Pourquoi soustraire un état constant

Soustraire $L=AL+C$ de $U_{n+1}=AU_n+C$ donne $V_{n+1}=A(U_n-L)=AV_n$. Avec $V_0=U_0-L$, le cas homogène donne $V_n=A^n(U_0-L)$ puis $U_n=L+A^n(U_0-L)$. Pour trouver $L$, résoudre $(I_d-A)L=C$ ; utiliser l’inverse exige $I_d-A$ inversible. La formule exige seulement un état constant vérifié, pas une convergence.