Vecteurs, droites et plans de l’espace

Vecteurs et combinaisons linéaires

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ décrit la translation qui envoie $A$ sur $B$. Deux vecteurs sont égaux s’ils décrivent la même translation. Une combinaison linéaire est une somme $\alpha\vec u+\beta\vec v+\gamma\vec w$, avec des coefficients réels.

Dans le cube $ABCDEFGH$, les faces $ABCD$ et $EFGH$ sont opposées et $AE,BF,CG,DH$ sont les arêtes latérales. Chasles donne un exemple de combinaison linéaire :

La perspective conserve ici le parallélisme ; les angles et longueurs apparents ne sont pas ceux du cube.

Décrire une droite, un plan et leurs positions

Deux vecteurs sont colinéaires s’ils appartiennent à une même direction ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Si $\vec u\neq\vec0$, $\vec v$ est colinéaire à $\vec u$ exactement lorsque $\vec v=t\vec u$ pour un réel $t$.

La droite passant par $A$ de directeur $\vec u\neq\vec0$ est caractérisée par $\overrightarrow{AM}=t\vec u$, $t\in\mathbb R$. Un plan passant par $A$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec u,\vec v$ est caractérisé par $\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v$, $s,t\in\mathbb R$.

• Deux droites : confondues, parallèles distinctes, sécantes ou non coplanaires.
• Une droite et un plan : droite incluse dans le plan, parallèle sans intersection, ou sécante en un point.
• Deux plans : confondus, parallèles distincts, ou sécants suivant une droite.

Deux droites ont la même direction si leurs directeurs sont colinéaires. La direction d’une droite est parallèle à celle d’un plan si son directeur est combinaison linéaire des deux directions du plan ; un point commun distingue alors inclusion et parallélisme sans intersection.

Bases, repères et coordonnées

Deux vecteurs non colinéaires forment une base de la direction d’un plan. Trois vecteurs non coplanaires $\vec i,\vec j,\vec k$ forment une base de l’espace : tout vecteur s’écrit de façon unique $x\vec i+y\vec j+z\vec k$.

Un repère $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$ associe au point $M$ les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$. Les coordonnées s’ajoutent et se multiplient par un réel composante par composante.

Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$. Ces règles ne demandent pas un repère orthonormé.