Orthogonalité et distances dans l’espace : cours de maths · Terminale spécialité

Produit scalaire et mesures

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Pour des vecteurs non nuls faisant un angle $\theta\in[0;\pi]$ :

\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta.

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : il se distribue sur les sommes et les coefficients réels. Dans une base orthonormée, pour $\vec u=(x;y;z)$ et $\vec v=(x^{\prime};y^{\prime};z^{\prime})$ :

\vec u\cdot\vec v=xx^{\prime}+yy^{\prime}+zz^{\prime},\qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\qquad AB=\|\overrightarrow{AB}\|.

\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\qquad \vec u\cdot\vec v=\frac{\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2}{2}.

On obtient aussi $\vec u\cdot\vec v=\frac{\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2}{2}$. Pour calculer un angle, diviser le produit scalaire par les deux normes, seulement si les vecteurs sont non nuls.

Orthogonalité des droites et des plans

Deux droites sont orthogonales si leurs directeurs le sont, même sans point commun. Si elles sont aussi sécantes, elles sont perpendiculaires.

Une droite est perpendiculaire à un plan si son directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires dirigeant le plan.

Un vecteur normal $\vec n$ à un plan est non nul et orthogonal à toutes ses directions. Le plan passant par $A$ et normal à $\vec n$ est l’ensemble des points $M$ tels que :

\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0.

Deux plans sont perpendiculaires exactement lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Voir un exemple — Vérifier un vecteur normal et deux plans perpendiculaires

Reconnaître une normale et deux plans perpendiculaires

Dans un repère orthonormé, $A(1;0;1)$, $B(3;1;1)$ et $C(1;1;3)$ donnent $\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$ et $\overrightarrow{AC}=(0;1;2)$. Ces deux vecteurs non colinéaires définissent le plan $(ABC)$.

Le vecteur non nul $\vec n=(1;-2;1)$ vérifie $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=2-2=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=-2+2=0$ : il est normal à $(ABC)$. La droite passant par $A$ et dirigée par $\vec n$ est donc perpendiculaire à ce plan.

Un autre plan $\mathcal Q$ de normale $\vec m=(1;1;1)$ est perpendiculaire à $(ABC)$, car $\vec n\cdot\vec m=1-2+1=0$.

Projection et distance minimale

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur un plan $\mathcal P$ appartient à $\mathcal P$ et $\overrightarrow{HM}$ est parallèle à un normal du plan. Si $M\in\mathcal P$, alors $H=M$. La distance de $M$ au plan est $MH$, la plus petite distance à un point du plan.

$H,N\in\mathcal P$ ; $MH$ est perpendiculaire à toutes les directions du plan.

Pour une droite $d$ de directeur $\vec u\neq\vec0$, son projeté $K$ est caractérisé par :

K\in d,\qquad \overrightarrow{KM}\cdot\vec u=0.

La distance de $M$ à la droite $d$ vaut $MK$, et $K=M$ si $M\in d$. Le projeté est dans chaque cas l’unique point le plus proche.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le projeté est le point le plus proche

Si $H$ est le projeté de $M$ sur le plan et $N$ appartient au plan, Pythagore donne $MN^2=MH^2+HN^2$. Les distances étant positives ou nulles, $MN\ge MH$, avec égalité exactement pour $N=H$. Si $M$ est déjà dans le plan, $H=M$ et la conclusion reste vraie.

Voir un exemple — Calculer deux distances par projection

Dans un repère orthonormé, soit $M(2;0;3)$, $\mathcal P$ le plan de coordonnées $z=0$, et $d$ la droite passant par $O$ de directeur $\vec u=(1;1;0)$. Le projeté de $M$ sur $\mathcal P$ est $H(2;0;0)$, donc $d(M,\mathcal P)=3$.

Un point $K$ de $d$ s’écrit $(t;t;0)$. La condition $\overrightarrow{KM}\cdot\vec u=0$ donne :

(2-t)+(-t)=0\iff t=1.

Ainsi $K(1;1;0)$ et $d(M,d)=MK=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{11}$. Comme $d\subset\mathcal P$, cette distance est bien supérieure à la distance au plan.