Représentations paramétriques et équations cartésiennes dans l’espace : cours de maths · Terminale spécialité

Droite paramétrique et plan cartésien

Dans un repère orthonormé, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$, de directeur $(u;v;w)\neq(0;0;0)$, possède la représentation :

\begin{cases}x=x_A+tu\\y=y_A+tv\\z=z_A+tw\end{cases}\qquad t\in\mathbb R.

Un point appartient à la droite si un même réel $t$ satisfait les trois égalités. Changer le point de départ ou multiplier le directeur par un réel non nul peut donner la même droite.

Le plan passant par $A$ et normal à $(a;b;c)\neq(0;0;0)$ a pour équation :

\[a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.\]

Toute équation $ax+by+cz+d=0$ avec $(a;b;c)\neq(0;0;0)$ définit un plan de normal $(a;b;c)$. Pour tester l’appartenance d’un point, substituer ses coordonnées.

Voir un exemple — Deux paramètres peuvent décrire la même droite

Changer le point de départ ou le directeur

La droite passant par $A(1;-1;2)$ et de directeur $\vec u\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ contient $B(3;0;1)$, obtenu pour $t=1$.

On peut donc utiliser $B$ et le directeur $2\vec u$ : les deux systèmes

\left\{\begin{aligned}x&=1+2t\\y&=-1+t\\z&=2-t\end{aligned}\right. \quad(t\in\mathbb R),\qquad \left\{\begin{aligned}x&=3+4s\\y&=2s\\z&=1-2s\end{aligned}\right. \quad(s\in\mathbb R)

décrivent la même droite. La relation $t=1+2s$ fait correspondre leurs points ; quand $s$ parcourt $\mathbb R$, $t$ parcourt aussi $\mathbb R$.

Intersections : calculer puis interpréter

Pour une droite et un plan, remplacer $x,y,z$ dans l’équation du plan par leur expression en $t$.

Une solution : un point d’intersection.
Aucune solution : droite parallèle au plan sans y être incluse.
Égalité vraie pour tout paramètre : droite incluse dans le plan.

Pour deux droites, égaler leurs trois coordonnées en utilisant deux paramètres distincts. Une solution donne le point commun ; aucune solution signifie qu’elles sont parallèles distinctes ou non coplanaires, selon leurs directeurs. Une infinité de solutions caractérise deux droites confondues.

Trouver un projeté orthogonal

Sur un plan : écrire la droite passant par $M$ et dirigée par un normal du plan ; son unique intersection avec le plan est le projeté $H$.

Une direction normale conduit au projeté sur le plan.

Sur une droite passant par $A$ de directeur $\vec u\neq\vec0$ : poser $\overrightarrow{AH}=t\vec u$, puis résoudre $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$. Cela donne :

t=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}.

Toujours vérifier l’appartenance et l’orthogonalité ; si $M$ appartient déjà à l’objet, son projeté est $M$. La distance est la longueur $MH$.

Comprendre pourquoi — D’où vient le paramètre du projeté sur une droite

Soit $d$ la droite passant par $A$ de directeur $\vec u\neq\vec0$. Écrire $\overrightarrow{AH}=t\vec u$ impose $H\in d$. Or $\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{AM}-t\vec u$ :

\overrightarrow{HM}\cdot\vec u=0\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec u-t\|\vec u\|^2=0.

Comme $\|\vec u\|^2>0$, il existe un unique paramètre $t=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}$. Si $M\in d$, il donne $H=M$.