Raisonnement par récurrence et étude globale des suites

Définir une suite et étudier tous ses termes

Une suite $(u_n)$ associe un terme à chaque entier de son domaine. Indiquer le premier rang. Une formule explicite calcule $u_n$ à partir de $n$ ; une relation de récurrence exige un terme initial et une règle donnant le terme suivant.

La suite est croissante si $u_{n+1}\geq u_n$ à tout rang, décroissante si $u_{n+1}\leq u_n$. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ ; comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ seulement si les termes sont strictement positifs.

Elle est majorée s’il existe $M$ tel que $u_n\leq M$ pour tout $n$, minorée si $u_n\geq m$ pour tout $n$, bornée si les deux conditions sont remplies.

Ces notions sont distinctes : $(-1)^n$ est bornée sans converger ; $\frac{(-1)^n}{n+1}$ converge sans être monotone. Le graphique d’une suite est constitué de points, sans relier automatiquement les termes.

Raisonner par récurrence

Pour prouver une propriété $P(n)$ pour tout entier $n\geq n_0$ :

• Initialisation : vérifier $P(n_0)$.
• Hérédité : fixer un entier $n\geq n_0$, supposer $P(n)$ vraie et démontrer $P(n+1)$.
• Conclusion : les deux étapes établissent $P(n)$ pour tout $n\geq n_0$.

Les deux étapes sont nécessaires. La relation qui définit une suite et le raisonnement qui prouve une propriété ne sont pas la même chose.

Exemple : $v_0=2$ et $v_{n+1}=3v_n-2$. Pour établir $v_n=1+3^n$, le rang $0$ donne $2=1+1$. Sous l’hypothèse $v_n=1+3^n$ :

La formule est donc vraie pour tout $n\geq0$.