Limites de suites : cours de maths · Terminale spécialité

Comprendre une limite

$u_n\to\ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes à partir d’un certain rang. Il ne suffit pas d’y entrer une fois. Une limite finie est unique et la suite est alors bornée.

$u_n\to+\infty$ signifie que, pour tout seuil réel $A$, tous les termes assez loin sont supérieurs à $A$. Pour $-\infty$, ils sont inférieurs à tout seuil. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

n^p\to+\infty,\qquad \frac1{n^p}\to0\quad(p\geq1\ \text{entier fixé}),\qquad \sqrt n\to+\infty.

\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^x=0,\qquad\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty.

Calculer par opérations et comparaison

Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to m$ sont des limites finies, alors $u_n+v_n\to\ell+m$, $u_nv_n\to\ell m$ et, si $m\neq0$, $\frac{u_n}{v_n}\to\frac\ell m$. Les puissances et la racine carrée préservent une limite dans leur domaine.

Un produit d’une limite non nulle et d’un infini suit la règle des signes ; une quantité bornée divisée par une quantité de valeur absolue tendant vers l’infini tend vers zéro. Si un dénominateur tend vers zéro, son signe doit être examiné.

+\infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \frac00,\qquad\frac\infty\infty\quad\text{sont des formes indéterminées.}

Si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang et leurs limites sont finies, alors $\ell\leq m$. Si $v_n\to+\infty$ et $u_n\geq v_n$ à partir d’un rang, $u_n\to+\infty$ ; règle analogue vers $-\infty$.

Gendarmes : si $a_n\leq u_n\leq b_n$ à partir d’un rang et $a_n,b_n\to\ell$, alors $u_n\to\ell$.

\frac{4n^2-n+3}{2n^2+5}=\frac{4-\frac1n+\frac3{n^2}}{2+\frac5{n^2}}\longrightarrow2\quad(n\geq1).

Voir un exemple — Encadrer une suite à signes alternés

Pour tout entier $n\geq0$, $-1\leq(-1)^n\leq1$. Comme $n+2>0$, diviser conserve l’ordre :

-\frac1{n+2}\leq\frac{(-1)^n}{n+2}\leq\frac1{n+2}.

Les deux bornes tendent vers zéro. Le théorème des gendarmes donne donc $\frac{(-1)^n}{n+2}\to0$, malgré l’alternance des signes.

Puissances géométriques et convergence monotone

Pour une raison réelle fixée $q$, considérer $q^n$ aux rangs $n\geq1$ :

Raison	Comportement
$\|q\|<1$	Limite zéro ; si q=0, termes nuls dès le rang 1.
$q=1$	Constante égale à 1.
$q>1$	Limite $+\infty$.
$q=-1$	Alternance de 1 et −1, sans limite.
$q<-1$	Termes pairs vers $+\infty$, impairs vers $-\infty$ ; pas de limite unique.

Théorème admis : une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. Il garantit une limite réelle, sans en donner automatiquement la valeur.

Exemple : pour $u_0=2$, $u_{n+1}=\frac{u_n+6}{3}$, l’encadrement $2\leq u_n<3$ et la croissance établis par récurrence garantissent la convergence. Une fois la convergence acquise :

\ell=\frac{\ell+6}{3}\iff\ell=3.

Comprendre pourquoi — Établir les bornes et la croissance de la suite affine

Pour $u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{u_n+6}{3}$, prouver $2\leq u_n<3$ par récurrence : l’initialisation vaut au rang zéro. Si $2\leq u_n<3$, alors

2<\frac83\leq u_{n+1}<3.

L’encadrement est donc vrai à tout rang. De plus,

u_{n+1}-u_n=\frac23(3-u_n)>0.

La suite est croissante et majorée par $3$, donc converge. Ce n’est qu’après cette justification qu’on utilise $\ell=\frac{\ell+6}{3}$ pour obtenir $\ell=3$.