Limites de fonctions et asymptotes : cours de maths · Terminale spécialité

Limites et asymptotes

La limite de $f(x)$ décrit ses valeurs quand $x$ approche un réel $a$, ou devient très grand positivement ou négativement. On travaille dans le domaine de $f$ ; à un point, examiner séparément la gauche $a^-$ et la droite $a^+$ si nécessaire.

Une limite finie $\ell$ signifie que les valeurs deviennent aussi proches que voulu de $\ell$. Une limite $+\infty$ ou $-\infty$ signifie qu’elles dépassent durablement tout seuil dans le sens indiqué. La valeur $f(a)$ peut ne pas exister.

Si $f(x)\to\ell$ quand $x\to+\infty$ ou $-\infty$, la droite $y=\ell$ est une asymptote horizontale de ce côté.
Si $f(x)\to+\infty$ ou $-\infty$ quand $x\to a$ d’au moins un côté, la droite $x=a$ est une asymptote verticale.

La courbe de la fonction inverse de x−1 a deux branches séparées par x=1. Quand x tend vers 1 à gauche, les valeurs tendent vers moins l’infini ; à droite, elles tendent vers plus l’infini.

Limites usuelles et règles de calcul

\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}\mathrm e^x=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty.

Pour un entier $n\geq1$, $x^n\to+\infty$ en $+\infty$ ; en $-\infty$, le signe dépend de la parité de $n$. Dans les deux cas $\frac1{x^n}\to0$. En $0$, $\frac1x\to+\infty$ à droite et $-\infty$ à gauche. Au point de leur domaine, les fonctions de référence continues tendent vers leur valeur.

Les limites finies s’additionnent et se multiplient ; pour un quotient, la limite du dénominateur doit être non nulle. Avec un infini, appliquer les règles de signe. Si le dénominateur tend vers zéro, déterminer de quel côté il approche zéro.

+\infty-\infty,\quad0\times\infty,\quad\frac00,\quad\frac\infty\infty\quad\text{ne donnent aucun résultat directement.}

Pour une composée, trouver d’abord la limite de l’expression intérieure, puis celle de la fonction extérieure, avec le bon côté d’approche. Pour tout entier naturel $n$ fixé :

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{\mathrm e^x}=0.

Transformer ou encadrer

À l’infini, factoriser par les termes dominants. Exemple :

\frac{2x^2-3}{x^2+4x+5}=\frac{2-\frac3{x^2}}{1+\frac4x+\frac5{x^2}}\longrightarrow2\quad(x\to+\infty).

Le dénominateur initial vaut $(x+2)^2+1>0$ ; $y=2$ est une asymptote horizontale à droite. Près d’un réel, une simplification ou une expression conjuguée peut lever une indétermination, sans rétablir une valeur au point exclu.

Comparaison : une fonction minorée par une fonction tendant vers $+\infty$ tend vers $+\infty$ ; version analogue avec une majoration vers $-\infty$.

Gendarmes : si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ au voisinage étudié et si $g,h\to\ell$, alors $f\to\ell$. Les inégalités doivent être valables sur le domaine et du côté considérés.

Voir un exemple — Lever une différence de racines avec le conjugué

Une différence de racines

Pour $x\geq0$, considérons $F(x)=\sqrt{x+5}-\sqrt{x}$. En $+\infty$, la différence a la forme indéterminée $+\infty-\infty$.

La quantité conjuguée transforme cette différence en quotient :

\begin{aligned} F(x)&=\frac{(\sqrt{x+5}-\sqrt{x})(\sqrt{x+5}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}\\ &=\frac{(x+5)-x}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}\\ &=\frac5{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}. \end{aligned}

Le dénominateur est positif et tend vers $+\infty$. Par quotient d'une constante par une fonction de limite infinie :

\lim_{x\to+\infty}F(x)=0.