Dérivation des fonctions composées et dérivée seconde : cours de maths · Terminale spécialité

Reconnaître une composée

La composée de $u$ puis $v$, notée $v\circ u$, est la fonction $x\mapsto v(u(x))$. $u$ est la fonction intérieure, $v$ la fonction extérieure. L’ordre compte.

Son domaine contient les $x$ où $u(x)$ est défini et appartient au domaine de $v$. Pour une racine carrée, l’expression intérieure doit être positive ou nulle ; pour un inverse, elle doit être non nulle.

Voir un exemple — Composer deux fonctions dans les deux ordres

L'ordre compte

Sur $\mathbb R$, considérons $u(x)=x^2+2$ et $v(t)=t^3$. Appliquer $u$, puis $v$, donne

(v\circ u)(x)=(x^2+2)^3.

Dans l'autre ordre, on obtient

(u\circ v)(x)=(x^3)^2+2=x^6+2.

Ces fonctions sont différentes : en $x=1$, la première vaut $27$ et la seconde vaut $3$. La notation $v\circ u$ ne désigne pas le produit $vu$.

Dériver une composée

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $v$ dérivable sur les valeurs prises par $u$, alors :

(v\circ u)^{\prime}(x)=v^{\prime}(u(x))u^{\prime}(x).

Le facteur $u^{\prime}$ est indispensable. Pour une fonction $u$ dérivable, les formes courantes sont :

Fonction	Dérivée	Condition
$u^m$	$m\,u^{m-1}u^{\prime}$	$m\geq2$ entier
$\frac1u$	$-\frac{u^{\prime}}{u^2}$	$u\neq0$
$\sqrt u$	$\frac{u^{\prime}}{2\sqrt u}$	$u>0$
$\mathrm e^u$	$u^{\prime}\mathrm e^u$	Sur I

Pour $m=1$, on retrouve $(u^1)^{\prime}=u^{\prime}$. Une fonction peut être définie à une borne où la formule de dérivation ne s’applique pas. Exemple : $h(x)=\sqrt{3-2x}$ est définie pour $x\leq\frac32$, mais la règle donne seulement :

h^{\prime}(x)=-\frac1{\sqrt{3-2x}}\qquad\left(x<\frac32\right).

Les règles de produit et de quotient restent utiles lorsqu’une composée apparaît dans un facteur : $(ab)^{\prime}=a^{\prime}b+ab^{\prime}$ et $\left(\frac ab\right)^{\prime}=\frac{a^{\prime}b-ab^{\prime}}{b^2}$ si $b\neq0$.

Voir un exemple — Dériver (x²+2)³ sans oublier le facteur intérieur

Dériver sans développer

Pour $f(x)=(x^2+2)^3$, les fonctions $u(x)=x^2+2$ et $v(t)=t^3$ sont dérivables sur $\mathbb R$. On a $u'(x)=2x$ et $v'(t)=3t^2$. Donc, pour tout réel $x$,

\begin{aligned} f'(x)&=3(x^2+2)^2\times2x\\ &=6x(x^2+2)^2. \end{aligned}

Comprendre pourquoi — Pourquoi la racine n’a pas de dérivée finie à la borne

Pour $h(x)=\sqrt{3-2x}$, poser $a=\frac32$. La fonction est définie en $a$ et $h(a)=0$, mais la règle de dérivation de la racine ne s’applique que pour $x<a$. Pour $x<a$ :

\frac{h(x)-h(a)}{x-a}=\frac{\sqrt{3-2x}}{-\frac{3-2x}{2}}=-\frac2{\sqrt{3-2x}}.

Ce taux tend vers $-\infty$ lorsque $x\to a^-$. Il n’existe donc pas de dérivée finie à gauche en $a$.

Dérivée seconde et étude d’une fonction

La dérivée seconde $f^{\prime\prime}$ est la dérivée de $f^{\prime}$, quand celle-ci est dérivable. Son signe donne les variations de $f^{\prime}$, tandis que le signe de $f^{\prime}$ donne celles de $f$.

Pour étudier une fonction : déterminer son domaine, calculer sa dérivée sur chaque intervalle adapté, étudier son signe, puis compléter les variations et les limites aux bornes.

Exemple : $f(x)=\frac1{(x-1)^2+1}$ est définie sur $\mathbb R$ et :

f^{\prime}(x)=-\frac{2(x-1)}{((x-1)^2+1)^2}.

Le dénominateur est positif : $f$ croît jusqu’à $1$, puis décroît. Le maximum vaut $f(1)=1$. Aux deux infinis, la limite vaut zéro ; elle n’est pas atteinte, donc $f$ n’a pas de minimum.