Convexité et points d’inflexion : cours de maths · Terminale spécialité

Convexe ou concave

Sur un intervalle, une fonction est convexe si sa courbe est sous les segments reliant deux points de cette courbe. Elle est concave si sa courbe est au-dessus de ces segments.

La parabole y=x²+1 est sous le segment joignant A d'abscisse −1 à B d'abscisse 2. Le segment est la portion de y=x+3 entre les deux points.

Pour $f$ deux fois dérivable sur l’intervalle, les caractérisations suivantes sont équivalentes et admises :

Convexe	Concave
$f^{\prime\prime}\geq0$	$f^{\prime\prime}\leq0$
$f^{\prime}$ croissante	$f^{\prime}$ décroissante
Courbe au-dessus de ses tangentes	Courbe au-dessous de ses tangentes

Convexité et croissance de $f$ sont distinctes : la croissance dépend de $f^{\prime}$, la convexité de ses variations, ou du signe de $f^{\prime\prime}$.

Point d’inflexion

Un point d’inflexion est un point où la courbe change de convexité. Si $f$ est deux fois dérivable au voisinage de $a$ et si $f^{\prime\prime}$ change de signe de part et d’autre d’une abscisse intérieure $a$, alors $(a;f(a))$ est un point d’inflexion.

Une annulation de $f^{\prime\prime}$ seule ne suffit pas : pour $f(x)=x^4$, $f^{\prime\prime}(0)=0$ mais $f^{\prime\prime}(x)=12x^2\geq0$ ; la fonction reste convexe de chaque côté.

Encadrer par une tangente ou une sécante

Si $f$ est convexe et dérivable, sa tangente en $a$ donne une minoration sur tout l’intervalle de convexité :

f(x)\geq f(a)+f^{\prime}(a)(x-a).

Entre deux abscisses $p<q$ de l’intervalle, la sécante donne une majoration seulement pour $x\in[p;q]$ :

f(x)\leq f(p)+\frac{f(q)-f(p)}{q-p}(x-p).

Pour une fonction concave, les sens s’inversent. Ne pas prolonger une majoration par sécante hors du segment étudié.

Voir un exemple — Encadrer la fonction inverse par une tangente et une sécante

Sur $]0;+\infty[$, $F(x)=\frac1x$ vérifie $F^{\prime\prime}(x)=\frac2{x^3}>0$, donc est convexe. Comme $F^{\prime}(x)=-\frac1{x^2}$, $F(2)=\frac12$ et $F^{\prime}(2)=-\frac14$, sa tangente en $2$ a pour équation :

y=\frac12-\frac14(x-2)=1-\frac x4.

Elle minore $F$ pour tout $x>0$. La sécante entre $(1;1)$ et $(3;\frac13)$ a pour équation $y=\frac{4-x}{3}$ ; elle majore $F$ seulement entre $1$ et $3$.

1-\frac x4\leq\frac1x\leq\frac{4-x}{3}\qquad(1\leq x\leq3).

Hors du segment, cette majoration n’est pas garantie : en $x=4$, elle donnerait à tort $\frac14\leq0$.