CoursTerminale spécialité maths
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Continuité et limite d’une suite
Une fonction $f$ est continue en un point $a$ de son domaine si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Elle est continue sur un intervalle si elle l’est en chaque point ; aux bornes, la limite est prise depuis l’intervalle. Un saut empêche la continuité.
Toute fonction dérivable est continue. La réciproque est fausse : $x\mapsto|x|$ est continue en zéro, mais n’y est pas dérivable.
Si $u_n\to\ell$, si les termes appartiennent au domaine de $f$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(u_n)\to f(\ell)$.
Voir un exemple — Passer à la limite dans une racine par continuité
La fonction est continue au point limite
Pour $n\in\mathbb N$, posons $u_n=3-\dfrac1{n+1}$. On a $u_n\ge2$ et $u_n\to3$. La fonction $f(x)=\sqrt{x+1}$ est définie sur $[-1;+\infty[$ et continue en $3$. Donc
Existence, unicité et encadrement
Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a;b]$, toute valeur $k$ située entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte au moins une fois sur ce segment. Si $k$ est strictement entre les valeurs aux bornes, la solution appartient à $]a;b[$.
Si, de plus, $f$ est strictement monotone, cette solution est unique. Continuité et changement de signe assurent l’existence d’une racine ; la stricte monotonie assure l’unicité.
Exemple : $F(x)=x^3+2x-4$ est continue et $F^{\prime}(x)=3x^2+2>0$. Comme $F(1)=-1$ et $F(2)=8$, elle possède une unique racine $\alpha\in]1;2[$.
Les signes $F(1{,}17)<0<F(1{,}18)$ donnent $1{,}17<\alpha<1{,}18$. Le milieu $1{,}175$ approche alors $\alpha$ avec une erreur inférieure à $0{,}005$.
Suite récurrente et limite éventuelle
Pour $u_{n+1}=f(u_n)$, un intervalle stable $I$ vérifiant $u_0\in I$ et $f(I)\subset I$ garantit que tous les termes restent dans $I$.
Il faut prouver la convergence séparément, par exemple par monotonie et bornes. Si $u_n\to\ell$ et $f$ est définie et continue en $\ell$, alors :
Résoudre cette équation donne les limites possibles ; cela ne prouve pas que la suite converge. Exemple : pour $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$, $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq3$ entraîne la convergence vers $\ell\in[0;3]$. Alors $\ell=\sqrt{2\ell+3}$ donne $\ell=3$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi une limite de suite récurrente est un point fixe
On suppose que $u_{n+1}=f(u_n)$ et que $u_n\to\ell\in I$. Un décalage d'un rang ne change pas la limite, donc $u_{n+1}\to\ell$. Comme $u_n\in I$ et $f$ est continue en $\ell$, on a aussi $f(u_n)\to f(\ell)$. Les deux membres étant égaux pour tout $n$, l'unicité de la limite impose $\ell=f(\ell)$.
Voir un exemple — Un point fixe existe sans convergence de la suite
Par exemple, pour $f(x)=-x$ sur $[-1;1]$ et $u_0=1$, on obtient $u_n=(-1)^n$. Cette suite ne converge pas, alors que $0$ est l'unique solution de $\ell=-\ell$.