Fonction logarithme népérien : cours de maths · Terminale spécialité

Définition et courbe

Pour $x>0$, $\ln x$ est l’unique réel dont l’exponentielle vaut $x$. Le logarithme réel n’est défini ni en zéro ni pour un nombre négatif.

\mathrm e^y=x\iff y=\ln x,\qquad \mathrm e^{\ln x}=x\ (x>0),\qquad \ln(\mathrm e^y)=y\ (y\in\mathbb R).

\ln1=0,\qquad \ln\mathrm e=1,\qquad \ln(\mathrm e^{-2})=-2.

Dans un repère orthonormé, les courbes de $\ln$ et de l’exponentielle sont symétriques par rapport à $y=x$.

Dans un repère orthonormé, les courbes exponentielle et logarithme sont symétriques par rapport à la diagonale y=x. Les points (0;1) et (1;0) se correspondent. La courbe logarithme n'existe que pour x strictement positif.

Dérivée, ordre et limites

$\ln$ est dérivable et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

\ln^{\prime}(x)=\frac1x\quad(x>0).

Pour $a,b>0$, $\ln a=\ln b\iff a=b$ et $\ln a<\ln b\iff a<b$ ; même règle avec $\leq$. Le logarithme est négatif sur $]0;1[$, nul en $1$, positif sur $]1;+\infty[$.

\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.

La droite $x=0$ est une asymptote verticale. Pour tout entier $n\geq1$ fixé :

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0,\qquad \lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la dérivée de ln est l’inverse de x

La dérivabilité de $\ln$ sur $]0;+\infty[$ est admise. Sur cet intervalle, on a l'identité :

\mathrm e^{\ln(x)}=x.

On dérive les deux membres. Par la règle de dérivation d'une composée, l'exponentielle étant dérivable sur $\mathbb R$ :

\mathrm e^{\ln(x)}\ln'(x)=1.

L'identité initiale donne $x\ln'(x)=1$. Puisque $x>0$, on peut diviser par $x$ et conclure :

\ln'(x)=\frac1x.

Calculer et résoudre avec le logarithme

Pour $a,b>0$ et $n\in\mathbb Z$ :

\ln(ab)=\ln a+\ln b,\qquad \ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,\qquad \ln(a^n)=n\ln a.

Il n’existe pas de règle analogue pour une somme : $\ln(1+1)=\ln2$, tandis que $\ln1+\ln1=0$.

Avant toute transformation, imposer la positivité de chaque argument. Exemple : $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln8$ exige $x>1$.

\begin{aligned}\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln8&\iff x^2-1=8\\&\iff x=3\ \text{ou}\ x=-3.\end{aligned}

Seul $x=3$ convient. Pour une inéquation entre logarithmes, leur croissance conserve le sens ; intersecter ensuite la solution avec le domaine initial.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le logarithme transforme les produits

Pour $a,b>0$, écrire $a=\mathrm e^{\ln a}$ et $b=\mathrm e^{\ln b}$. Les règles de l’exponentielle donnent les exposants $\ln a+\ln b$ pour $ab$, $\ln a-\ln b$ pour $\frac ab$, et $n\ln a$ pour $a^n$. L’unicité de l’antécédent donne les identités, pour tout entier $n$, y compris nul ou négatif.

Voir un exemple — Résoudre ln(4−x) ≤ ln(2x+1)

Les deux logarithmes exigent $4-x>0$ et $2x+1>0$, donc $-\frac12<x<4$. Sur ce domaine, la stricte croissance de $\ln$ donne :

\begin{aligned}\ln(4-x)\leq\ln(2x+1)&\iff4-x\leq2x+1\\&\iff x\geq1.\end{aligned}

Intersecter avec le domaine initial donne $[1;4[$. La borne $4$ reste exclue : $\ln(4-x)$ n’y est pas défini.

Dériver un logarithme composé

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $\ln u$ y est dérivable :

(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}u.

Exemple : pour $f(x)=\ln(5-x^2)$, le domaine est $]-\sqrt5;\sqrt5[$. Sur cet intervalle :

f^{\prime}(x)=-\frac{2x}{5-x^2}.

Le dénominateur est positif : $f$ croît jusqu’à $0$, puis décroît. Son maximum vaut $f(0)=\ln5$.