Fonctions sinus et cosinus : cours de maths · Terminale spécialité

Cercle, valeurs et symétries

Les angles sont en radians. Le point du cercle trigonométrique associé à $x$ a pour coordonnées $(\cos x;\sin x)$. Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb R$, à valeurs dans $[-1;1]$.

Sur le cercle trigonométrique, le point M associé à π/3 a pour coordonnées (1/2 ; √3/2). Ses projections donnent le cosinus sur l’axe horizontal et le sinus sur l’axe vertical.

\cos^2x+\sin^2x=1,\qquad \cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x.

\cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x.

Le cosinus est pair, le sinus impair ; leurs courbes se répètent par translation de $2\pi$ horizontalement.

$x$	$0$	$\frac\pi6$	$\frac\pi4$	$\frac\pi3$	$\frac\pi2$	$\pi$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt3}2$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac12$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac{\sqrt3}2$	$1$	$0$

Sur le graphique, le cosinus est en trait continu et le sinus en tirets. Le cosinus a une symétrie d’axe vertical ; le sinus une symétrie de centre l’origine.

Deux périodes de cosinus et sinus. Cosinus possède la symétrie d'axe vertical, sinus la symétrie de centre origine ; les motifs se répètent par translation horizontale de 2π.

Dérivées et variations

(\sin x)^{\prime}=\cos x,\qquad(\cos x)^{\prime}=-\sin x.

Sur $[-\pi;\pi]$, le cosinus croît strictement de $-1$ à $1$ sur $[-\pi;0]$, puis décroît strictement de $1$ à $-1$ sur $[0;\pi]$. Le sinus décroît strictement de $0$ à $-1$ sur $[-\pi;-\frac\pi2]$, croît strictement de $-1$ à $1$ sur $[-\frac\pi2;\frac\pi2]$, puis décroît strictement de $1$ à $0$ sur $[\frac\pi2;\pi]$. La périodicité prolonge ces variations.

Pour $u$ dérivable : $(\sin u)^{\prime}=u^{\prime}\cos u$ et $(\cos u)^{\prime}=-u^{\prime}\sin u$.

Voir un exemple — Dériver 2 sin(3x)−cos x

Garder le facteur intérieur

La fonction $g(x)=2\sin(3x)-\cos x$ est dérivable sur $\mathbb R$. Comme $(3x)'=3$,

g'(x)=2\times3\cos(3x)-(-\sin x)=6\cos(3x)+\sin x.

Résoudre sur un intervalle fixé

Pour résoudre $\cos x=a$ sur $[-\pi;\pi]$, si $a\notin[-1;1]$, il n’y a aucune solution. Sinon, soit $\alpha\in[0;\pi]$ l’unique angle tel que $\cos\alpha=a$. Les solutions sont $-\alpha$ et $\alpha$ ; pour $a=1$ il reste seulement $0$, et pour $a=-1$ les deux bornes $-\pi,\pi$.

Pour $\cos x\leq a$ sur $[-\pi;\pi]$ :

Si $a<-1$ : aucune solution.
Si $a\geq1$ : tout $[-\pi;\pi]$.
Si $-1\leq a<1$ : $[-\pi;-\alpha]\cup[\alpha;\pi]$, où $\cos\alpha=a$ et $\alpha\in[0;\pi]$.

Exemple : $\cos x\leq\frac12$ donne $[-\pi;-\frac\pi3]\cup[\frac\pi3;\pi]$. Les bornes sont incluses car l’inégalité est large.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les solutions du cosinus sont symétriques

Pour $-1<a<1$, le cosinus est continu et strictement décroissant de $1$ à $-1$ sur $[0;\pi]$. Le théorème des valeurs intermédiaires donne un unique $\theta\in]0;\pi[$ tel que $\cos\theta=a$. La parité donne l’autre solution $-\theta$ sur $[-\pi;0]$.

Sur $[0;\pi]$, $\cos x\leq a$ exactement pour $x\in[\theta;\pi]$. La symétrie ajoute $[-\pi;-\theta]$. Les points $\pm\theta$ sont inclus parce que l’inégalité est large.

Sur $[-\pi;\pi]$, les valeurs extrêmes se traitent séparément : $1$ n’est atteint qu’en $0$ ; $-1$ est atteint en $-\pi$ et $\pi$, deux nombres distincts. Hors de $[-1;1]$, aucune valeur n’est atteinte.