CoursTerminale spécialité maths
Primitives
Primitive sur un intervalle
Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F^{\prime}=f$. Chercher une primitive revient à résoudre $y^{\prime}=f$.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (résultat admis ici). Cela n’assure pas qu’on puisse les écrire avec les fonctions usuelles.
Si $F$ est une primitive sur $I$, toutes les primitives sont $F+C$, $C\in\mathbb R$. Elles diffèrent d’une constante sur ce même intervalle. Une valeur prescrite $F(a)=b$ fixe cette constante et donne une unique primitive.
Comprendre pourquoi — Pourquoi deux primitives diffèrent d’une constante
Sur le même intervalle $I$, $(F-G)^{\prime}=f-f=0$, donc $F-G$ est constante. Réciproquement, ajouter une constante à une primitive ne change pas sa dérivée. L’hypothèse d’intervalle explique pourquoi des constantes différentes sont possibles sur deux intervalles disjoints.
Voir un exemple — Fixer la constante par F(0)=−1
Fixer une primitive par une valeur
Sur $\mathbb R$, pour $f(x)=6x^2+3\cos x-2\sin x$, les solutions de $y'=f$ sont toutes les fonctions
La dérivation vérifie cette formule. La condition $F(0)=-1$ donne $2+C=-1$, donc l'unique solution correspondante est $F(x)=2x^3+3\sin x+2\cos x-3$.
Primitives de référence
Le tableau donne une primitive ; ajouter une constante pour obtenir toutes les primitives sur l’intervalle considéré.
| Fonction | Une primitive | Domaine |
|---|---|---|
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ | $n\in\mathbb Z,\ n\neq-1$ ; intervalle du domaine de $x^n$. |
| $\frac1x$ | $\ln|x|$ | Intervalle ne contenant pas zéro. |
| $\frac1{\sqrt x}$ | $2\sqrt x$ | $x>0$ |
| $\mathrm e^x$ | $\mathrm e^x$ | $\mathbb R$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb R$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb R$ |
La primitive d’une combinaison $\alpha f+\beta g$ est $\alpha F+\beta G$ si $F^{\prime}=f$, $G^{\prime}=g$, sur le même intervalle. Vérifier en dérivant. Pour $n=-1$, utiliser le logarithme : la formule des puissances diviserait par zéro.
Reconnaître une dérivée composée
Si $u$ est dérivable et $G^{\prime}=g$ sur les valeurs prises par $u$, alors $G(u(x))$ est une primitive de $u^{\prime}(x)g(u(x))$.
Pour le logarithme, travailler sur un intervalle où $u$ ne s’annule pas. Exemple : $4x\mathrm e^{x^2-1}=2(2x)\mathrm e^{x^2-1}$ a pour primitive $2\mathrm e^{x^2-1}$ sur $\mathbb R$. Le facteur constant se contrôle par dérivation.
Voir un exemple — Une primitive logarithmique sur deux intervalles séparés
Pour $p(x)=\frac3{2x-5}$, le point $\frac52$ est exclu. Sur chacun des intervalles $]-\infty;\frac52[$ et $]\frac52;+\infty[$, une primitive est $P(x)=\frac32\ln|2x-5|$.
Toutes les primitives sont $P+C$ sur l’intervalle choisi ; les constantes peuvent être différentes sur les deux intervalles. Le point exclu ne se rétablit pas.