Équations différentielles : cours de maths · Terminale spécialité

Résoudre y′=ay

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction dérivable sur un intervalle. Résoudre consiste à trouver toutes les fonctions qui vérifient l’égalité sur cet intervalle. Pour un réel constant $a$ :

y^{\prime}=ay\iff y(x)=C\mathrm e^{ax},\qquad C\in\mathbb R.

La solution nulle correspond à $C=0$. Une condition $y(x_0)=y_0$ impose $C=y_0\mathrm e^{-ax_0}$, soit :

y(x)=y_0\mathrm e^{a(x-x_0)}.

Une solution non nulle garde le signe de $C$ ; le signe de sa dérivée est celui de $aC$. Si $a=0$, les solutions sont constantes. Pour $a\neq0$, leur comportement aux infinis se déduit des limites de l’exponentielle.

La somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions de cette équation homogène.

Voir un exemple — Résoudre 3y′+2y=0 avec y(3)=−2

Une condition initiale en trois

Sur $\mathbb R$, $3y'+2y=0$ équivaut à $y'=-(\frac23)y$. La famille des solutions est $y(x)=Ce^{-\frac{2x}3}$. La condition $y(3)=-2$ impose $Ce^{-2}=-2$, donc $C=-2e^2$.

y(x)=-2e^{-\frac23(x-3)}.

Cette fonction vaut $-2$ en $3$ et sa dérivée vérifie $y'=-(\frac23)y$, donc aussi l'équation initiale.

Résoudre y′=ay+b

Pour $a\neq0$, la constante $-\frac ba$ est une solution particulière. Toutes les solutions sont :

y(x)=C\mathrm e^{ax}-\frac ba,\qquad C\in\mathbb R.

Une condition initiale détermine $C$. Si $a=0$, l’équation devient $y^{\prime}=b$ et les solutions sont $y(x)=bx+C$.

Utiliser une solution particulière donnée

Pour $y^{\prime}=ay+f(x)$, si $g$ est une solution particulière sur l’intervalle étudié, toutes les solutions sont :

y(x)=g(x)+C\mathrm e^{ax},\qquad C\in\mathbb R.

Vérifier d’abord $g^{\prime}=ag+f$, puis utiliser la condition initiale pour calculer $C$. Exemple : pour $y^{\prime}=2y+x^2$, la fonction $g(x)=-\frac{x^2}2-\frac x2-\frac14$ vérifie cette égalité sur $\mathbb R$.

y(x)=-\frac{x^2}2-\frac x2-\frac14+C\mathrm e^{2x}.

La condition $y(0)=1$ donne $C=\frac54$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi on ajoute une solution homogène à une particulière

Sur un intervalle $I$, soit $p$ une solution particulière dérivable de $y^{\prime}=ay+f$, avec $a$ constant. Si $y$ est une autre solution, soustraire les égalités donne :

(y-p)^{\prime}=(ay+f)-(ap+f)=a(y-p).

Donc $y-p=C\mathrm e^{ax}$. Réciproquement, si $z^{\prime}=az$ et $y=p+z$, alors

y^{\prime}=(ap+f)+az=a(p+z)+f=ay+f.

On obtient exactement $y=p+C\mathrm e^{ax}$, $C\in\mathbb R$, solution nulle de l’homogène incluse.