Calcul intégral : cours de maths · Terminale spécialité

Intégrale, aire et primitive

Pour $f$ continue et positive sur $[a;b]$, avec $a<b$, $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$ est l’aire sous sa courbe entre $a$ et $b$.

Domaine sous la courbe de 1+x² entre 0 et 2, fermé par l'axe et les deux verticales.

La fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,\mathrm dt$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Pour $f$ continue de signe quelconque sur un intervalle contenant $a,b$ et $F$ une primitive :

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b.

La valeur est indépendante du choix de $F$. L’intégrale est une aire algébrique : les parties sous l’axe sont comptées négativement. L’aire géométrique exige de séparer les intervalles de signe, puis d’additionner les aires positives.

\int_0^2(1+x^2)\,\mathrm dx=\left[x+\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{14}3.

Propriétés et encadrements

Pour des fonctions continues sur les intervalles concernés et des constantes réelles $\alpha,\beta$ :

\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g,\qquad \int_b^a f=-\int_a^b f,\qquad \int_a^a f=0.

\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f.

Pour les inégalités, respecter $a\leq b$ : si $f\geq0$ sur $[a;b]$, son intégrale est positive ou nulle ; si $f\leq g$, alors $\int_a^b f\leq\int_a^b g$.

m\leq f(x)\leq M\ \text{sur }[a;b]\ \Longrightarrow\ m(b-a)\leq\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\leq M(b-a).

Voir un exemple — Encadrer une intégrale sans primitive explicite

Encadrer une intégrale sans primitive

Pour $0\le x\le1$, $x^2\le x$. Multiplier par $-1$ inverse l’ordre, puis l’exponentielle croissante le conserve :

\begin{aligned}-x\le-x^2\le0&\Longrightarrow\mathrm e^{-x}\le\mathrm e^{-x^2}\le1.\end{aligned}

Les fonctions sont continues et les bornes $0<1$ sont dans l’ordre croissant : on peut intégrer ces inégalités.

1-\mathrm e^{-1}\le\int_0^1\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx\le1.

Le segment a pour longueur $1$ : sa valeur moyenne satisfait le même encadrement.

Valeur moyenne et aire entre deux courbes

Pour $a<b$, la valeur moyenne de $f$ continue sur $[a;b]$ est :

\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.

Si $f\geq g$ sur $[a;b]$, l’aire entre leurs courbes vaut :

\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm dx.

Si les courbes changent d’ordre, repérer leurs intersections, découper l’intervalle et intégrer à chaque fois la fonction supérieure moins la fonction inférieure. Ne pas confondre la somme des aires avec une intégrale où des contributions se compensent.

Voir un exemple — Calculer l’aire lorsque les courbes changent d’ordre

Sur $[0;2]$, les courbes de $f(x)=x^2$ et $g(x)=1$ se coupent pour $x=1$. Sur $[0;1]$, $g$ est au-dessus ; sur $[1;2]$, $f$ est au-dessus.

\begin{aligned}\mathcal A&=\int_0^1(1-x^2)\,\mathrm dx+\int_1^2(x^2-1)\,\mathrm dx\\&=\left[x-\frac{x^3}3\right]_0^1+\left[\frac{x^3}3-x\right]_1^2\\&=\frac23+\frac43=2.\end{aligned}

Additionner les deux aires évite la compensation qui se produirait avec une seule différence gardant le même ordre.

Intégration par parties

Pour $u,v$ dérivables à dérivées continues sur $[a;b]$ :

\int_a^b u(x)v^{\prime}(x)\,\mathrm dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u^{\prime}(x)v(x)\,\mathrm dx.

Choisir les facteurs pour simplifier l’intégrale restante, et conserver le terme aux bornes. Exemple issu de $I_n=\int_0^1x^n\mathrm e^{-x}\,\mathrm dx$ : avec $u(x)=x$ et $v(x)=-\mathrm e^{-x}$,

\int_0^1x\mathrm e^{-x}\,\mathrm dx=[-x\mathrm e^{-x}]_0^1+\int_0^1\mathrm e^{-x}\,\mathrm dx=1-\frac2{\mathrm e}.

Comprendre pourquoi — D’où vient l’intégration par parties

Les hypothèses rendent $u^{\prime}v$ et $uv^{\prime}$ continus. Intégrer $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ donne $[uv]_a^b=\int_a^b u^{\prime}v+\int_a^b uv^{\prime}$. Soustraire le premier terme intégral donne la formule, quel que soit l’ordre des bornes.