Épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale : cours de maths · Terminale spécialité

Indépendance et chemins d’un arbre

Pour un arbre de probabilités, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches ; des chemins incompatibles s’additionnent. Sans indépendance, les probabilités après une branche sont conditionnelles.

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)\quad\text{si }P(A)>0.

Si $A_1,\ldots,A_r$ forment une partition avec $P(A_i)>0$, alors $P(B)=\sum_iP(A_i)P(B\mid A_i)$.

Deux événements sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Pour une succession d’épreuves mutuellement indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chacun ; les probabilités ne dépendent pas des résultats précédents.

Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès de probabilité $p\in[0;1]$ et échec de probabilité $1-p$. La variable indicatrice vaut $1$ au succès et $0$ à l’échec ; son espérance vaut $p$ et sa variance $p(1-p)$.

Un schéma de Bernoulli répète $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes avec la même probabilité $p$. Le nombre de succès $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ et prend ses valeurs dans $\{0,\ldots,n\}$. Pour $0<p<1$ et $k\in\{0,\ldots,n\}$ :

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.

Cas limites : si $p=0$, $X=0$ avec probabilité $1$ ; si $p=1$, $X=n$ avec probabilité $1$. Pour $n=0$, le nombre de succès est zéro. Sans indépendance ou sans même probabilité de succès, cette loi ne s’applique pas.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le coefficient binomial compte les succès

Chaque liste de $k$ succès a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ par indépendance. Il y a $\binom nk$ choix des positions de succès ; les listes sont disjointes, donc on additionne ces probabilités identiques. Les produits vides incluent $k=0$, $k=n$ et $n=0$. Pour $p=0$ ou $p=1$, le comptage est déterministe.

Cumuls, intervalles et seuils

Pour $F(k)=P(X\leq k)$, sommer les probabilités ponctuelles de $0$ à $k$ ; poser $F(k)=0$ pour $k<0$ et $F(k)=1$ pour $k\geq n$. Pour des bornes entières :

P(X\geq k)=1-F(k-1),\qquad P(X>k)=1-F(k),\qquad P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a-1)\ (a\leq b).

Exemple : si $X\sim\mathcal B(8,\frac14)$, alors :

P(X=2)=\binom82\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^6\approx0{,}3115.

La fonction cumulative $F$ est croissante. Pour trouver un premier seuil entier, vérifier que la condition est vraie au seuil choisi et fausse à l’entier précédent ; la croissance des cumuls permet d’interpréter cette comparaison.

Voir un exemple — Calculer P(1≤X≤3) par deux cumuls

Pour $X\sim\mathcal B(8,\frac14)$, poser $F(k)=P(X\leq k)$. Les cumuls sont $F(3)=\frac{58077}{65536}$ et $F(0)=P(X=0)=\left(\frac34\right)^8=\frac{6561}{65536}$.

P(1\leq X\leq3)=F(3)-F(0)=\frac{51516}{65536}=\frac{12879}{16384}\approx0{,}7861.

On retire seulement le cas $X=0$, car $1$ appartient à l’intervalle demandé.