Sommes de variables aléatoires : cours de maths · Terminale spécialité

Espérance et variance d’une somme

La somme $X+Y$ se définit issue par issue. Pour des variables aléatoires finies et des constantes réelles $a,b$ :

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),\qquad E(aX+b)=aE(X)+b.

La linéarité de l’espérance ne demande aucune indépendance. Pour la variance :

V(aX+b)=a^2V(X),\qquad \sigma(aX+b)=|a|\sigma(X).

Si $X,Y$ sont indépendantes, alors $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ et $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)$. L’additivité de la variance est admise ; elle ne s’utilise pas sans l’indépendance.

Exemple : $X,Y$ sont des Bernoulli indépendantes de paramètres $0{,}4$ et $0{,}7$. Pour $T=5+3X-2Y$ :

E(T)=5+3(0{,}4)-2(0{,}7)=4{,}8,\qquad V(T)=9(0{,}24)+4(0{,}21)=3.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la variance multiplie le coefficient au carré

On utilise $\mathrm E(aX+b)=a\mathrm E(X)+b$ et la définition de la variance comme espérance du carré de l'écart à la moyenne.

L'écart à la nouvelle espérance est

aX+b-\bigl(a\mathrm E(X)+b\bigr)=a\bigl(X-\mathrm E(X)\bigr).

La translation par $b$ disparaît.

Par définition de la variance et linéarité,

\begin{aligned} \mathrm V(aX+b)&=\mathrm E\!\left(a^2\bigl(X-\mathrm E(X)\bigr)^2\right)\\ &=a^2\mathrm E\!\left(\bigl(X-\mathrm E(X)\bigr)^2\right)=a^2\mathrm V(X). \end{aligned}

En prenant la racine carrée, $\sqrt{a^2}=|a|$ donne $\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)$. Le calcul inclut $a=0$, qui donne une variable constante de variance nulle.

Voir un exemple — Sans indépendance, les variances ne s’additionnent pas

Un univers fini a trois issues $A,B,C$ de probabilités $\frac14,\frac12,\frac14$. Les variables $X,Y$ prennent les valeurs :

Issue	$A$	$B$	$C$
$X$	$0$	$2$	$4$
$Y$	$4$	$2$	$0$

Leurs espérances valent $2$. Pour chacune, la variance vaut $(-2)^2\frac14+0^2\frac12+2^2\frac14=2$. Pourtant $X+Y=4$ à chaque issue, donc $V(X+Y)=0$, et non $2+2$.

Les variables ne sont pas indépendantes. En revanche, $V(2X)=4V(X)=8$ : doubler la même variable n’est pas additionner deux observations indépendantes.

Indicateurs de la loi binomiale

Une variable $X\sim\mathcal B(n,p)$ est la somme de $n$ indicatrices de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$. Ainsi, pour $n\in\mathbb N$, $0\leq p\leq1$ :

E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.

Somme et moyenne d’un échantillon

Un échantillon de taille $n\geq1$ est une liste $X_1,\ldots,X_n$ de variables indépendantes de même loi. Si leur espérance vaut $\mu$, leur variance $V$ et leur écart type $\sigma=\sqrt V$, poser :

S_n=X_1+\cdots+X_n,\qquad M_n=\frac{S_n}n.

	Espérance	Variance	Écart type
$S_n$	$n\mu$	$nV$	$\sigma\sqrt n$
$M_n$	$\mu$	$\frac Vn$	$\frac{\sigma}{\sqrt n}$

La moyenne garde la même espérance, mais sa dispersion diminue lorsque la taille augmente. L’indépendance et la même loi sont les hypothèses du tableau.