Fonctions exponentielles : cours de maths · Terminale technologique

Puissances à exposant réel

Pour une base $a>0$, la fonction exponentielle $x\mapsto a^x$ prolonge les puissances entières à tous les réels. $a^0=1$, $a^1=a$ et $a^x>0$ ; $1^x=1$. Un exposant négatif donne un inverse : $a^{-x}=\frac1{a^x}$.

Pour $x,y\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb Z$, on admet :

a^{x+y}=a^xa^y,\qquad a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y},\qquad a^{nx}=(a^x)^n.

Exemple : $4^{-\frac12}=\frac1{\sqrt4}=\frac12$. Les règles d'addition des exposants concernent les produits de même base, jamais la somme $a^x+a^y$.

Voir un exemple — Regrouper les exposants d'un quotient

La base $5$ est strictement positive. On utilise successivement la puissance d'une puissance puis le quotient de puissances de même base :

\frac{(5^{0{,}7})^2}{5^{0{,}4}}=5^{1{,}4-0{,}4}=5.

Variations

Sur $\mathbb R$, $a^x$ est strictement croissante si $a>1$, strictement décroissante si $0<a<1$, constante si $a=1$. Ses courbes passent par $(0;1)$ et restent au-dessus de l'axe des abscisses.

Trois courbes : 2 puissance x croissante, un demi puissance x décroissante et constante 1.

Pour $f(x)=k\,a^x$, avec $a>0$, le signe est celui de $k$. Si $k>0$, le sens de variation est conservé ; si $k<0$ et $a\ne1$, il est inversé. Si $k=0$, $f=0$ ; si $a=1$, $f=k$ : ces deux cas sont constants.

Comprendre pourquoi — Pourquoi un facteur négatif inverse les variations

Comprendre la méthode

Multiplier une comparaison par $k>0$ conserve son sens ; par $k<0$, cela le renverse. Avec $k=0$ ou $a=1$, la valeur ne dépend plus de $x$.

Racine et taux moyen

Pour $A>0$ et un entier $n\geq1$, $A^{\frac1n}$ est l'unique nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $A$.

Pour $n\geq1$ évolutions de même durée, de coefficients positifs $c_1,\ldots,c_n$, poser $C=c_1\cdots c_n$. Le coefficient moyen est $c=C^{\frac1n}$ et le taux moyen décimal est :

t=C^{\frac1n}-1.

Avec des valeurs initiale et finale positives, $C=\frac{V_{\mathrm{finale}}}{V_{\mathrm{initiale}}}$. Le taux en pourcentage est $100t\,\%$. Il donne la même valeur finale, sans reconstituer les étapes intermédiaires ; ce n'est généralement pas la moyenne arithmétique des taux.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le taux moyen utilise une racine

Pour $n\geq1$ évolutions de même durée, de coefficients positifs $c_1,\ldots,c_n$, poser $C=c_1\cdots c_n>0$. Répéter un coefficient positif $c$ donne le même résultat sur une valeur initiale $V_0>0$ lorsque :

c^nV_0=CV_0\iff c^n=C.

L'unique solution positive est $c=C^{\frac1n}$. Le taux décimal correspondant vaut donc $c-1=C^{\frac1n}-1$.