Logarithme décimal : cours de maths · Terminale technologique

Logarithme décimal

Pour $b>0$, $\log(b)$ est l'unique réel $x$ tel que $10^x=b$. La fonction $\log$ est définie uniquement sur $]0;+\infty[$ : $\log(0)$ et le logarithme d'un nombre négatif n'existent pas dans $\mathbb R$.

\log(10^x)=x\quad(x\in\mathbb R),\qquad10^{\log b}=b\quad(b>0).

Elle est strictement croissante ; pour $u,v>0$, $u<v\iff\log u<\log v$. $\log1=0$ ; le logarithme est négatif pour $0<u<1$ et positif pour $u>1$. Exemples : $\log100=2$ et $\log0{,}001=-3$.

Courbe croissante du logarithme décimal passant par les points 1,0 et 10,1. Les ordonnées sont négatives avant 1 et positives après 1.

Règles de calcul

Pour $u,v>0$ et un entier naturel $n$ :

\log(uv)=\log u+\log v,\qquad\log\!\left(\frac uv\right)=\log u-\log v,\qquad\log(u^n)=n\log u.

En particulier, $\log\!\left(\frac1v\right)=-\log v$. Il n'existe pas de règle analogue pour $\log(u+v)$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le logarithme transforme un produit en somme

Comprendre la méthode

Pour $a,b>0$, écrire $a=10^{\log(a)}$ et $b=10^{\log(b)}$ donne $ab=10^{\log(a)+\log(b)}$. Le logarithme du produit est donc la somme des logarithmes.

Résoudre une exponentielle

Pour $a>0$ et $x\in\mathbb R$, $\log(a^x)=x\log a$. Si $a\ne1$ et $b>0$, poser $L=\frac{\log b}{\log a}$.

a^x=b\iff x=L.

Pour $a^x<b$, on obtient $x<L$ si $a>1$, mais $x>L$ si $0<a<1$, car $\log a<0$.

Si $b\leq0$, ni l'équation ni cette inéquation n'a de solution. Si $a=1$, l'équation est vraie pour tous les réels lorsque $b=1$, et pour aucun sinon ; l'inéquation est vraie pour tous lorsque $b>1$, et pour aucun sinon.

Si l'inconnue est $n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$, garder seulement les entiers naturels obtenus. Une borne stricte est exclue ; vérifier les entiers voisins dans l'inéquation initiale.

Voir un exemple — Une inéquation de base 0,8

Une base inférieure à un

Résolvons $0{,}8^x<0{,}3$. Comme $0<0{,}8<1$, on a $\log(0{,}8)<0$ :

\begin{aligned}0{,}8^x<0{,}3 &\ \Longleftrightarrow\ x\log(0{,}8)<\log(0{,}3)\\ &\ \Longleftrightarrow\ x>\frac{\log(0{,}3)}{\log(0{,}8)}.\end{aligned}

L'ensemble solution est

\left]\frac{\log(0{,}3)}{\log(0{,}8)}\,;+\infty\right[.

Sa borne vaut environ $5{,}3955$. On conserve la borne exacte pour décrire toutes les solutions réelles.

Résoudre une puissance de base inconnue

Dans $x^a$, l'exposant réel $a$ est fixé et on travaille sur $x>0$. Pour $a\ne0$ et $b>0$, poser $B=b^{\frac1a}=10^{\frac{\log b}{a}}$.

x^a=b\iff x=B.

Pour $x^a<b$, si $a>0$, les solutions sont $0<x<B$ ; si $a<0$, elles sont $x>B$.

Si $b\leq0$, aucune solution positive. Si $a=0$, l'équation admet tous les $x>0$ lorsque $b=1$, aucun sinon ; l'inéquation admet tous les $x>0$ lorsque $b>1$, aucun sinon.