Fonction inverse et étude de fonctions : cours de maths · Terminale technologique

Fonction inverse

La fonction inverse est $f(x)=\frac1x$, définie pour $x\ne0$. Son signe est celui de $x$ et sa courbe a deux branches symétriques par rapport à l'origine.

Si $x$ s'approche de $0$, la valeur absolue de son inverse devient très grande : positive du côté $x>0$, négative du côté $x<0$. Quand $|x|$ devient très grand, l'inverse s'approche de $0$ en gardant son signe. Les axes $x=0$ et $y=0$ sont les asymptotes de la courbe, comprises ici intuitivement.

Deux branches de l’hyperbole y égal à l’inverse de x ; les axes sont les deux asymptotes.

f'(x)=-\frac1{x^2}<0\qquad(x\ne0).

La fonction est strictement décroissante séparément sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$. On ne réunit pas les deux intervalles en une seule décroissance.

Comprendre pourquoi — Pourquoi l'inverse décroît sur deux intervalles séparés

Comprendre la méthode

Pour $x\ne0$, $x^2>0$ donne $f\prime(x)=-\frac1{x^2}<0$. Le critère de variation s’applique séparément sur chacun des deux intervalles du domaine, que zéro sépare.

Étudier une somme avec un polynôme

Pour un polynôme $P$ de degré au plus $3$ et un réel $k$, sur $x\ne0$ :

F(x)=P(x)+\frac{k}{x},\qquad F'(x)=P'(x)-\frac{k}{x^2}.

Si $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, alors $P'(x)=3ax^2+2bx+c$. Exemple : $G(x)=2x^3-5x^2+3+\frac6x$ donne $G'(x)=6x^2-10x-\frac6{x^2}$.

Préciser le domaine, calculer la dérivée puis étudier son signe sur chaque intervalle du domaine. Une dérivée positive indique une croissance, une dérivée négative une décroissance. Compléter le tableau de variations avec les valeurs utiles, puis tracer une courbe cohérente.