Statistique à deux variables et ajustements : cours de maths · Terminale technologique

Nuage de points et ajustement affine

Deux variables quantitatives sont observées ensemble : chaque observation donne un couple $(x_i;y_i)$. Le nuage contient ces points, avec des axes gradués et les unités précisées ; on ne relie pas les points automatiquement.

Si le nuage est approximativement aligné, une droite d'ajustement $y=ax+b$ résume sa tendance. Elle donne des estimations et ne passe pas forcément par chaque point. Un alignement ne prouve pas une relation de cause à effet.

Trois observations et la droite y=2x ; le segment vertical au rang x=2 représente un écart de 1.

Exemple : pour le point $(2;5)$, la droite $y=2x$ estime $4$ ; l'écart vertical vaut $5-4=1$.

Moindres carrés

Pour la droite $y=ax+b$, le résidu est $e_i=y_i-(ax_i+b)$ : positif au-dessus de la droite, négatif au-dessous. La méthode des moindres carrés cherche $a,b$ rendant minimale la somme :

S(a,b)=\sum_{i=1}^{N}\bigl(y_i-(ax_i+b)\bigr)^2.

Les carrés empêchent les écarts opposés de se compenser. Les coefficients peuvent être fournis par un outil ; aucune théorie de leur calcul n'est développée ici. Comparer seulement quelques droites ne suffit pas à prouver qu'on a trouvé le minimum parmi toutes les droites.

Voir un exemple — Comparer deux sommes de carrés

Pour les observations $(1;2)$, $(2;5)$ et $(3;6)$, comparer les deux droites $y=2x$ et $y=2x+1$. Pour la première, les résidus sont $0,1,0$ :

\[S(2,0)=0^2+1^2+0^2=1.\]

Pour la seconde, les résidus sont $-1,0,-1$ :

\[S(2,1)=(-1)^2+0^2+(-1)^2=2.\]

La droite $y=2x$ est meilleure des deux selon ce critère. Cette comparaison ne prouve pas qu'elle minimise la somme parmi toutes les droites.

Changer de variable et contrôler une estimation

Un changement de variable donné remplace une variable par une expression de celle-ci. Par exemple, si chaque $y_i>0$, poser $z_i=\log(y_i)$ puis tracer les points $(x_i;z_i)$. Un alignement approché permet de conjecturer une relation affine entre les nouvelles variables ; il ne signifie pas forcément une proportionnalité.

Si l'ajustement donne $\log(y)\approx ax+b$, revenir à la variable initiale par $y\approx10^{ax+b}$. La relation approchée concerne les données positives ; elle n'en fait pas des valeurs exactement alignées.

Conserver les valeurs non arrondies pour calculer l'ajustement. Une interpolation estime à l'intérieur du domaine observé ; une extrapolation estime à l'extérieur. Pour juger une estimation, contrôler les données, les unités et les contraintes : la tendance observée ne garantit pas qu'elle continue au-delà.