Probabilités conditionnelles et probabilités totales : cours de maths · Terminale technologique

Probabilité conditionnelle

L'univers $\Omega$ contient les issues de l'expérience. $A\cap B$ signifie « $A$ et $B$ », $A\cup B$ « au moins l'un des deux » et $\overline A$ « pas $A$ ». $\mathbb P(\overline A)=1-\mathbb P(A)$.

Si $\mathbb P(A)>0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est :

\mathbb P_A(B)=\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(A)}.

Le calcul se restreint à $A$. Exemple : parmi $100$ pièces, $60$ viennent de $A$ et $3$ de ces $60$ sont défectueuses ($B$). Alors $\mathbb P_A(B)=\frac3{60}=0{,}05$, tandis que $\mathbb P(A\cap B)=\frac3{100}=0{,}03$.

Arbre et probabilités totales

Les probabilités des branches issues d'un même sommet ont pour somme $1$. Après une branche $A$, on lit des probabilités sachant $A$. Pour $\mathbb P(A)>0$, le poids du chemin $A$ puis $B$ est :

\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P_A(B).

On multiplie le long d'un chemin et on additionne les poids des chemins distincts qui conduisent à l'événement cherché. Ce produit n'exige pas l'indépendance.

Arbre à deux niveaux : origine A ou complémentaire, puis défaut B ou complémentaire. Chaque paire de branches a pour somme 1.

Une partition $A_1,\ldots,A_m$ répartit toutes les issues en groupes incompatibles deux à deux : chaque issue appartient à un seul groupe. La formule des probabilités totales est :

\mathbb P(B)=\sum_{i=1}^{m}\mathbb P(A_i\cap B).

Si chaque $\mathbb P(A_i)>0$, on obtient $\mathbb P(B)=\sum_{i=1}^{m}\mathbb P(A_i)\mathbb P_{A_i}(B)$. Un groupe de probabilité nulle contribue par $0$, sans définir de probabilité conditionnelle sachant ce groupe.

Dans l'arbre : $\mathbb P(B)=0{,}6\times0{,}05+0{,}4\times0{,}20=0{,}11$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les probabilités des chemins s'additionnent

Comprendre la méthode

Chaque issue de $B$ appartient à un unique groupe $A_i$. Les morceaux $A_i\cap B$ sont incompatibles et recouvrent $B$ : leurs probabilités s’additionnent. Pour un groupe de probabilité positive, on calcule chaque intersection par le produit des branches.

L’univers est partagé en trois groupes. L’ovale B traverse les trois bandes ; ses trois morceaux disjoints recouvrent B. Les aires ne représentent pas les probabilités.

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B)$. Si $\mathbb P(A)>0$, cela équivaut à $\mathbb P_A(B)=\mathbb P(B)$ : savoir $A$ ne change pas la probabilité de $B$.

L'incompatibilité signifie que les deux événements ne peuvent pas se réaliser ensemble : c'est une autre notion.