Variables aléatoires discrètes finies : cours de maths · Terminale technologique

Variable aléatoire et espérance

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue. Pour ses valeurs distinctes $x_1,\ldots,x_m$, sa loi donne $p_i=\mathbb P(X=x_i)$, avec $p_i\geq0$ et $\sum_i p_i=1$. Son espérance est :

E(X)=\sum_{i=1}^{m}x_i p_i.

Elle a la même unité que les valeurs et décrit une moyenne à long terme lors de répétitions indépendantes dans les mêmes conditions. Ce n'est pas forcément une valeur possible, ni un résultat garanti à chaque expérience.

Exemple : les valeurs $-2$, $1$, $5$ de probabilités $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$ donnent $E(X)=(-2)\times0{,}5+1\times0{,}3+5\times0{,}2=0{,}30$.

Loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès de probabilité $p$ et échec de probabilité $1-p$. Pour $n\in\mathbb N$ et $0\leq p\leq1$, répéter $n$ épreuves identiques et indépendantes donne un schéma de Bernoulli.

Si $X$ compte les succès, $X\sim\mathcal B(n;p)$ et ses valeurs possibles appartiennent à $\{0,\ldots,n\}$. Vérifier le nombre d'épreuves fixé, la même probabilité $p$ à chaque épreuve et l'indépendance ; des tirages sans remise ne la garantissent pas.

Cas certains : si $p=0$, $X=0$ ; si $p=1$, $X=n$ ; si $n=0$, $X=0$.

Coefficients et triangle de Pascal

Pour $0\leq k\leq n$ entiers, $\binom nk$ compte les chemins comportant exactement $k$ succès parmi $n$ épreuves, indépendamment de $p$. $\binom n0=\binom nn=1$, y compris $\binom00=1$.

Pour $n\geq2$ et $1\leq k\leq n-1$ :

\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k.

Dans le triangle de Pascal, les lignes $n$ et colonnes $k$ commencent à $0$. Placer $1$ à chaque bord ; chaque autre coefficient est la somme des deux situés au-dessus. Le calcul manuel est travaillé pour $n\leq10$.

Extraction des lignes5 et6, colonnes1 et2 : les cellules5 et10 alimentent15, situé sous10 et sous à droite de5.

Exemple : $\binom62=\binom51+\binom52=5+10=15$.

Comprendre pourquoi — Établir Pascal en regardant la dernière issue

Comprendre la méthode

Pour $n\geq2$ et $1\leq k\leq n-1$, séparer les chemins selon leur dernière issue donne deux groupes disjoints : un dernier succès laisse $k-1$ succès dans les $n-1$ premières épreuves ; un dernier échec en laisse $k$. Additionner leurs nombres donne la formule de Pascal.

Probabilités et espérance binomiales

Pour $X\sim\mathcal B(n;p)$, $0<p<1$ et $0\leq k\leq n$ entier :

\mathbb P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.

On multiplie le nombre de chemins par la probabilité d'un chemin. Les cas certains sont traités dans la définition ci-dessus.

Pour $n\geq1$ et $0<p<1$ : $\mathbb P(X=0)=(1-p)^n$, $\mathbb P(X=n)=p^n$, $\mathbb P(X=1)=np(1-p)^{n-1}$ et $\mathbb P(X=n-1)=np^{n-1}(1-p)$.

Pour $n\geq1$, $0<p<1$ et $0\leq a\leq n$ entier, $\mathbb P(X\leq a)=\sum_{k=0}^{a}\mathbb P(X=k)$. Par complémentaire, $\mathbb P(X\geq1)=1-(1-p)^n$. Si $n=0$, aucun succès n'est possible : $\mathbb P(X\geq1)=0$.

Exemple : si $X\sim\mathcal B(6;0{,}3)$, $\mathbb P(X=2)=15\times0{,}3^2\times0{,}7^4=0{,}324135$.

On admet $E(X)=np$, pour tout $n\in\mathbb N$ et $p\in[0;1]$. Cette moyenne peut ne pas être entière, bien que $X$ le soit.

Comprendre pourquoi — Pourquoi multiplier par le nombre de chemins

Soit $X\sim\mathcal B(n;p)$, avec $n\in\mathbb N$, $0<p<1$ et $k$ entier tel que $0\leq k\leq n$. Par indépendance, chaque chemin comportant $k$ succès et $n-k$ échecs a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$.

Il y a $\binom nk$ chemins de ce type. Ils sont incompatibles : leurs probabilités s'additionnent. On obtient donc :

\mathbb P(X=k)=\binom nk\,p^k(1-p)^{n-k}.