Algorithmique, automatismes et thèmes d’étude : cours de maths · Terminale technologique

Ensembles et notations

$a\in A$ signifie que $a$ appartient à $A$ ; $A\subset E$ signifie que tous les éléments de $A$ appartiennent à $E$. $\varnothing$ est l'ensemble vide ; $\operatorname{Card}(A)$ compte les éléments d'un ensemble fini.

$A\cap B$ contient les éléments communs à $A$ et $B$ ; $A\cup B$ ceux de $A$ ou de $B$, y compris ceux des deux. Le complémentaire $E\setminus A=\overline A$ contient les éléments de l'univers $E$ qui ne sont pas dans $A$.

$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$ : entiers naturels, entiers relatifs, décimaux à écriture finie, quotients d'entiers à dénominateur non nul, réels. $]1;4]$ signifie $1<x\leq4$.

Un couple $(a,b)$ est ordonné : ses deux places comptent. $A\times B$ est l'ensemble des couples dont la première composante appartient à $A$ et la seconde à $B$.

Voir un exemple — Intersection, réunion et complémentaire

Soient $E=\{a,b,c,d,e\}$, $A=\{a,b,d\}$ et $B=\{b,c,d\}$.

A\cap B=\{b,d\},\qquad A\cup B=\{a,b,c,d\},\qquad E\setminus A=\{c,e\}.

Les éléments communs $b,d$ appartiennent aussi à la réunion : le « ou » est inclusif. Le complémentaire se calcule dans l'univers fixé $E$.

Égalités, équations et logique

Une identité est vraie pour toutes les valeurs autorisées, comme $(x+1)^2=x^2+2x+1$. Une équation cherche les valeurs d'une inconnue. Dans $f(x)=ax+1$, $x$ est une variable et $a$ un paramètre fixé ; dans un polynôme, la lettre peut être une indéterminée.

« Et » exige les deux affirmations ; « ou » en exige au moins une. La négation de $x>1$ est $x\leq1$. Une conjecture reste à justifier ; un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation portant sur tous les cas.

Si $P$ entraîne $Q$, $P$ est une condition suffisante de $Q$ et $Q$ une condition nécessaire de $P$. La réciproque échange les deux affirmations. $P\iff Q$ signifie que l'implication et sa réciproque sont vraies.

Exemple : $x\geq1$ entraîne $x^2\geq x$, mais la réciproque est fausse pour $x=-1$. L'équivalence correcte est $x^2\geq x\iff x\leq0$ ou $x\geq1$.

La contraposée nie les deux affirmations et renverse leur ordre. Raisonner par l'absurde consiste à supposer le contraire du résultat et à obtenir une contradiction.

Comprendre pourquoi — Pourquoi x² ≥ x équivaut à x ≤ 0 ou x ≥ 1

Comprendre la méthode

Pour $x\in\mathbb R$, soustraire $x$ puis factoriser conserve l’équivalence. Les facteurs sont de signes contraires entre 0 et 1, et de même signe à l’extérieur. Les zéros sont inclus car l’inégalité est large.

\begin{aligned}x^2\geq x&\iff x^2-x\geq0\\&\iff x(x-1)\geq0\\&\iff x\leq0\text{ ou }x\geq1.\end{aligned}

STD2A : coniques et raccordements

Cette section et les suivantes de géométrie concernent uniquement la série STD2A. Une conique est une section d'une surface conique par un plan. Si le plan évite le sommet : perpendiculaire à l'axe, il donne un cercle ; coupant toutes les génératrices d'une seule nappe, une ellipse ; parallèle à une seule génératrice, une parabole ; coupant les deux nappes, une hyperbole.

Deux sections d'un cône de révolution par des plans évitant le sommet : cercle pour le plan perpendiculaire à l'axe, ellipse pour le plan oblique coupant toutes les génératrices d'une seule nappe. Chaque groupe montre le profil et la courbe de section.

Deux sections d'un cône de révolution par des plans évitant le sommet : parabole pour le plan parallèle à une seule génératrice, hyperbole pour le plan coupant les deux nappes. Chaque groupe montre le profil et la courbe de section.

La tangente en $A$ est la position limite des sécantes $(AM)$ quand $M$ se rapproche de $A$ sur la conique. Deux arcs se raccordent sans cassure s'ils ont le même point de jonction et la même tangente, et se prolongent dans le sens du parcours.

Voir un exemple — STD2A : vérifier le raccordement en x = 1

Raccorder deux arcs sans cassure

Un contour parcouru de gauche à droite suit $f(x)=x^2$ sur $[0;1]$, puis $g(x)=3-\frac{(x-3)^2}{2}$ sur $[1;3]$. En $x=1$, $f(1)=1$ et $g(1)=3-\frac42=1$ : les arcs se rejoignent au point $A(1;1)$.

Les tangentes au raccord sont données par la même équation $t_f:y=2x-1$ et $t_g:y=2x-1$ ; elles coïncident. La position et la direction communes rendent le raccordement sans cassure.

STD2A : projection centrale et fuites

On fixe un œil $O$ et un tableau, plan ne contenant pas $O$. Pour $M\ne O$, l'image $M'$ est l'intersection de $(OM)$ avec le tableau lorsqu'elle existe et est unique. Un point du tableau est sa propre image ; un rayon parallèle au tableau n'a pas d'image finie.

Vue de profil : le rayon visuel OM rencontre le tableau π en M'. L'œil O n'appartient pas au tableau.

Les alignements et les points communs sont conservés quand la projection est définie et non dégénérée. Un contact tangent se conserve sous ces conditions au voisinage du contact. En général, longueurs, angles, milieux, rapports de longueurs et parallélisme ne se conservent pas.

Dans un même plan frontal, parallèle au tableau et ne contenant pas l'œil, la figure et son image sont semblables : toutes les longueurs changent d'un même facteur ; angles, milieux, rapports et parallélisme sont conservés. Dans le tableau, la figure est en vraie grandeur.

Le point de fuite d'une direction non parallèle au tableau est l'intersection du tableau avec sa parallèle passant par $O$. Les droites images non dégénérées de cette direction passent par ce point, parfois en se confondant. Pour une direction parallèle au tableau, les images non dégénérées sont parallèles ou confondues ; il n'y a pas de point de fuite fini.

Le point principal est le pied de la perpendiculaire issue de l'œil au tableau. La ligne de fuite d'un plan non frontal est l'intersection du tableau avec le plan parallèle passant par l'œil. La ligne d'horizon est celle des plans horizontaux ; si le tableau est vertical, elle est horizontale et passe par le point principal.

Comprendre pourquoi — STD2A : le même facteur dans un plan frontal

Le tableau et un plan frontal sont parallèles et ne contiennent pas l'œil $O$. Dans la configuration représentée, ils sont du même côté de $O$. Notons $a>0$ la distance de l'œil au tableau et $b>0$ sa distance au plan frontal.

Dans une coupe, les deux plans sont parallèles ; les distances de l'œil au tableau et au plan frontal valent a et b. Les rayons de visée relient un segment à son image.

Dans une coupe contenant un segment du plan frontal et ses rayons de visée, Thalès donne le même rapport de longueurs :

\frac{\text{longueur de l'image}}{\text{longueur du segment}}=\frac ab.

Ce rapport ne dépend pas du segment choisi. Toutes les longueurs sont donc multipliées par le même facteur ; la figure et son image restent semblables.

STD2A : construire un quadrillage et des solides

Pour le quadrillage du dessin, le bord avant est dans le tableau ; $H$ est le point principal et $D$ le point de fuite des diagonales. Partager le bord avant en intervalles égaux, tracer les fuyantes vers $H$, puis la diagonale $(AD)$. Ses intersections avec les fuyantes déterminent les rangées, à tracer horizontalement. Des profondeurs réelles égales ont des espacements décroissants sur le dessin.

Quadrillage exact de quatre sur quatre carrés en perspective à point principal H. La diagonale AD coupe les fuyantes et détermine quatre profondeurs égales réelles, dont les images sont de plus en plus rapprochées.

Pour un parallélépipède rectangle, tracer la face avant dans le tableau en vraie grandeur. Faire fuir les arêtes perpendiculaires au tableau vers le point principal ; fixer une profondeur à l'aide du quadrillage, puis compléter la face arrière avec ses côtés parallèles à ceux de la face avant.

Parallélépipède rectangle en perspective centrale. Face avant de largeur 2 et hauteur 1,5 dans le tableau, arête AD en vraie grandeur. La face arrière est frontale et toutes les arêtes de profondeur passent par H.

Un prisme se construit en reliant les sommets homologues des deux bases. Pour une pyramide à base carrée, trouver l'image du centre par l'intersection des diagonales : le milieu apparent d'une diagonale ne convient pas. Pour esquisser un cylindre ou un cône, les côtés du contour apparent sont tangents aux ellipses représentant les bases.