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Fiche methode de Premiere specialite maths Probabilités
Arbre pondéré : calculer une probabilité
Objectif
Savoir lire un arbre pondéré pour calculer une probabilité simple, une intersection ou une probabilité totale.
Propriété / Idée clé
Dans un arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins qui mènent au même événement.
- on multiplie le long d'un chemin (intersection) ;
- on additionne des chemins qui mènent au même événement.
Formule des probabilités totales (cas $A$ / $\overline{A}$) :
Si les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, alors :
$$
\begin{aligned}
P(B)
&= P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\\
&= P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B).
\end{aligned}
$$
Méthode pas-à-pas
- Identifier les données utiles.
- Appliquer la méthode de la fiche.
- Vérifier le résultat.
Exemple
On a : $P(A)=0,4$, $P_A(B)=0,3$, $P_{\overline{A}}(B)=0,1$.
Calculer $P(B)$.
$$
\begin{aligned}
P(\overline{A})
&= 1-P(A)\\
&= 1-0,4\\
&= 0,6.
\end{aligned}
$$
Comme les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales :
$$
\begin{aligned}
P(B)
&= P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\\
&= 0,4\times 0,3 + 0,6\times 0,1\\
&= 0,12+0,06\\
&= 0,18.
\end{aligned}
$$
Pièges fréquents
- Sur l'arbre, les probabilités d'une même fourche font 1.
- Ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$.
Mini-check
- J'ai identifié la donnée recherchée.
- J'ai appliqué la méthode pas à pas sans sauter d'étape.
- J'ai vérifié signe, unité et ordre de grandeur.