Retour au chapitre

Fiche methode de Premiere specialite maths Probabilités

Arbre pondéré : calculer une probabilité

Fiche methode de Premiere specialite maths : Arbre pondéré : calculer une probabilité. Explications pas a pas et automatismes utiles.

Decouvrir Mathos Locos Voir les autres methodes du chapitre

Objectif

Savoir lire un arbre pondéré pour calculer une probabilité simple, une intersection ou une probabilité totale.

Propriété / Idée clé

Dans un arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins qui mènent au même événement.

  • on multiplie le long d'un chemin (intersection) ;
  • on additionne des chemins qui mènent au même événement.

Formule des probabilités totales (cas $A$ / $\overline{A}$) :

Si les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, alors :

$$ \begin{aligned} P(B) &= P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\\ &= P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B). \end{aligned} $$

Méthode pas-à-pas

  1. Identifier les données utiles.
  2. Appliquer la méthode de la fiche.
  3. Vérifier le résultat.

Exemple

On a : $P(A)=0,4$, $P_A(B)=0,3$, $P_{\overline{A}}(B)=0,1$.

Calculer $P(B)$.

Figure
$$ \begin{aligned} P(\overline{A}) &= 1-P(A)\\ &= 1-0,4\\ &= 0,6. \end{aligned} $$

Comme les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales :

$$ \begin{aligned} P(B) &= P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\\ &= 0,4\times 0,3 + 0,6\times 0,1\\ &= 0,12+0,06\\ &= 0,18. \end{aligned} $$

Pièges fréquents

  • Sur l'arbre, les probabilités d'une même fourche font 1.
  • Ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$.

Mini-check

  • J'ai identifié la donnée recherchée.
  • J'ai appliqué la méthode pas à pas sans sauter d'étape.
  • J'ai vérifié signe, unité et ordre de grandeur.

Autres fiches methodes du chapitre