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Fiche methode de Premiere specialite maths Calcul numérique et algébrique
Multiplier et diviser des fractions
Objectif
Savoir multiplier deux fractions et diviser par une fraction en utilisant son inverse.
Propriété / Idée clé
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.
Pour \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\), on distingue les deux opérations.
Multiplication (avec \(b\neq 0\) et \(d\neq 0\)) :
$$
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}
=
\frac{ac}{bd}
$$
Division (avec \(b\neq 0\), \(c\neq 0\) et \(d\neq 0\)) :
$$
\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}
=
\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}
=
\frac{ad}{bc}
$$
Méthode pas-à-pas
Astuce sans calculatrice : *simplifier avant* de multiplier.
- Écrire la multiplication (ou remplacer $\div$ par $\times$ l'inverse).
- Repérer des simplifications $(\frac{15}{30}=\frac{1}{2},\ \frac{7}{14}=\frac{1}{2},\ \ldots)$.
- Multiplier ce qu'il reste.
Exemple
Calculer $\displaystyle \frac{15}{14}\times \frac{7}{30}\times \frac{2}{3}$.
$$
\begin{aligned}
\frac{15}{14}\times \frac{7}{30}\times \frac{2}{3}
&=
(\frac{15}{30})\times (\frac{7}{14})\times \frac{2}{3}\\
&=
\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\\
&=
\frac{1}{6}.
\end{aligned}
$$
Pièges fréquents
- Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. Exemple :
$$
\frac{3}{5}\div \frac{2}{7}
=
\frac{3}{5}\times \frac{7}{2}.
$$
- Simplifier ne veut pas dire « supprimer » : on divise numérateur et dénominateur par le même nombre.
Mini-check
- J'ai identifié la donnée recherchée.
- J'ai appliqué la méthode pas à pas sans sauter d'étape.
- J'ai vérifié signe, unité et ordre de grandeur.