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Fiche methode de Premiere specialite maths Calcul numérique et algébrique
Puissances et écriture scientifique
Objectif
Savoir utiliser les règles sur les puissances et écrire correctement un nombre en notation scientifique.
Propriété / Idée clé
Les puissances permettent de simplifier un calcul sans tout développer. En écriture scientifique, on écrit toujours un nombre sous la forme $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$.
Règles essentielles (pour $a\neq 0$) :
$$
\begin{aligned}
a^m a^n &= a^{m+n},\\
\frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n},\\
(a^m)^n &= a^{mn},\\
a^{-n} &= \frac{1}{a^n}.
\end{aligned}
$$
Pour les puissances de $10$ :
$$
\begin{aligned}
10^{-3} &= 0,001,\\
10^{0} &= 1,\\
10^{2} &= 100.
\end{aligned}
$$
Méthode pas-à-pas
Quand il y a un « 10 » et un « 5 » : penser à $10=2\times 5$ pour simplifier.
Exemple
On considère $\displaystyle N=\frac{10^7}{5^2}$.
$$
\begin{aligned}
10^7
&= (2\cdot 5)^7\\
&= 2^7\cdot 5^7.
\end{aligned}
$$
Donc
$$
\begin{aligned}
N
&= \frac{10^7}{5^2}\\
&= \frac{2^7\cdot 5^7}{5^2}\\
&= 2^7\cdot 5^5.
\end{aligned}
$$
Or
$$
\begin{aligned}
2^7 &= 128,\\
5^5 &= 3125.
\end{aligned}
$$
Donc
$$
\begin{aligned}
N
&= 128\times 3125\\
&= 400\,000\\
&= 4\times 10^5.
\end{aligned}
$$
Pièges fréquents
- $10^{-2}\neq -10^2$ : c'est $\displaystyle \frac{1}{10^2}$.
- En écriture scientifique : $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$.
Mini-check
- J'ai identifié la donnée recherchée.
- J'ai appliqué la méthode pas à pas sans sauter d'étape.
- J'ai vérifié signe, unité et ordre de grandeur.