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Fiche methode de Premiere specialite maths Calcul numérique et algébrique
Puissances et écriture scientifique
Fiche methode de Premiere specialite maths : Puissances et écriture scientifique. Explications pas a pas et automatismes utiles.
Objectif
Savoir utiliser les règles sur les puissances et écrire correctement un nombre en notation scientifique.
Propriété / Idée clé
Les puissances permettent de simplifier un calcul sans tout développer. En écriture scientifique, on écrit toujours un nombre sous la forme $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$.
Règles essentielles (pour $a\neq 0$) :
$$
\begin{aligned}
a^m a^n &= a^{m+n},\\
\frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n},\\
(a^m)^n &= a^{mn},\\
a^{-n} &= \frac{1}{a^n}.
\end{aligned}
$$
Pour les puissances de $10$ :
$$
\begin{aligned}
10^{-3} &= 0,001,\\
10^{0} &= 1,\\
10^{2} &= 100.
\end{aligned}
$$
Méthode pas-à-pas
Quand il y a un « 10 » et un « 5 » : penser à $10=2\times 5$ pour simplifier.
Exemple
On considère $\displaystyle N=\frac{10^7}{5^2}$.
$$
\begin{aligned}
10^7
&= (2\cdot 5)^7\\
&= 2^7\cdot 5^7.
\end{aligned}
$$
Donc
$$
\begin{aligned}
N
&= \frac{10^7}{5^2}\\
&= \frac{2^7\cdot 5^7}{5^2}\\
&= 2^7\cdot 5^5.
\end{aligned}
$$
Or
$$
\begin{aligned}
2^7 &= 128,\\
5^5 &= 3125.
\end{aligned}
$$
Donc
$$
\begin{aligned}
N
&= 128\times 3125\\
&= 400\,000\\
&= 4\times 10^5.
\end{aligned}
$$
Pièges fréquents
- $10^{-2}\neq -10^2$ : c'est $\displaystyle \frac{1}{10^2}$.
- En écriture scientifique : $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$.
Mini-check
- J'ai identifié la donnée recherchée.
- J'ai appliqué la méthode pas à pas sans sauter d'étape.
- J'ai vérifié signe, unité et ordre de grandeur.