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Fiche methode de Premiere specialite maths Calcul numérique et algébrique

Produit nul et étude du signe d'une expression factorisée

Fiche methode de Premiere specialite maths : Produit nul et etude du signe d'une expression factorisee. Explications pas a pas et automatismes utiles.

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Objectif

Savoir utiliser la propriété du produit nul et étudier le signe d'une expression factorisée.

Propriété / Idée clé

Dans une expression factorisée, chaque facteur donne un zéro possible et un signe. Le signe global est le produit des signes des facteurs.

$$ AB = 0 \Longleftrightarrow A = 0\ \text{ou}\ B = 0. $$

Pour le signe : on étudie le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par les zéros, puis on multiplie les signes.

Méthode pas-à-pas

  • Factoriser l'expression (si possible).
  • Trouver les zéros (racines) de chaque facteur.
  • Déterminer le signe de chaque facteur :
  • *Méthode 1 (inéquation) :* résoudre $ \text{facteur} \ge 0$ (et on en déduit où il est $<0$).
  • *Méthode 2 (racine + coefficient directeur) :* pour un facteur $ax+b$,

on trouve la racine $-\frac{b}{a}$, puis :

$$ \begin{cases} a>0 \Rightarrow \text{signe }\ (-)\ \text{puis}\ (+),\\ a<0 \Rightarrow \text{signe }\ (+)\ \text{puis}\ (-). \end{cases} $$
  • Construire le tableau de signes (ici en TikZ) et multiplier les signes.

Exemple

On considère $f(x)=(3x-15)(x+2)$.

1) Zéros de chaque facteur

Pour $3x-15$ :

$$ \begin{aligned} 3x-15 &= 0\\ \Longleftrightarrow 3x &= 15\\ \Longleftrightarrow x &= 5. \end{aligned} $$

Pour $x+2$ :

$$ \begin{aligned} x+2 &= 0\\ \Longleftrightarrow x &= -2. \end{aligned} $$

2) Signe de chaque facteur (méthode par inéquation)

Pour $3x-15$ :

$$ \begin{aligned} 3x-15 &\ge 0\\ \Longleftrightarrow 3x &\ge 15\\ \Longleftrightarrow x &\ge 5. \end{aligned} $$

Donc $3x-15$ est $\,<0$ si $x<5$, nul si $x=5$, et $\,>0$ si $x>5$.

Pour $x+2$ :

$$ \begin{aligned} x+2 &\ge 0\\ \Longleftrightarrow x &\ge -2. \end{aligned} $$

Donc $x+2$ est $\,<0$ si $x<-2$, nul si $x=-2$, et $\,>0$ si $x>-2$.

3) Tableau de signes (TikZ / tkz-tab) [[FIGURE:/static/bac_2026/methodes_figures/methode.calcul_numerique_algebrique.m10/fig01.svg?v=0274d34805|Figure 1]]

Pièges fréquents

  • Le facteur $3x-15$ a le même signe que $x-5$ car $3>0$.
  • Si un facteur est au carré, il est $\ge 0$ (jamais négatif).

Mini-check

  • J'ai identifié la donnée recherchée.
  • J'ai appliqué la méthode pas à pas sans sauter d'étape.
  • J'ai vérifié signe, unité et ordre de grandeur.

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