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Fiche methode de Premiere specialite maths Fonctions et représentations
Passer entre les formes d'un polynôme du second degré
Objectif
Savoir choisir et convertir la forme développée, factorisée ou canonique d'un polynôme du second degré selon la question posée.
Propriété / Idée clé
Un même polynôme du second degré peut s'écrire sous trois formes complémentaires, chacune mettant en valeur une information différente.
- forme développée : $ax^2+bx+c$ ;
- forme factorisée : $a(x-x_1)(x-x_2)$ si les racines existent ;
- forme canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$.
Méthode pas-à-pas
Un même polynôme du second degré peut s'écrire :
- sous forme développée : $ax^2+bx+c$,
- sous forme factorisée : $a(x-x_1)(x-x_2)$ si les racines existent,
- sous forme canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$.
On choisit la forme la plus utile selon la question :
- racines $\rightarrow$ forme factorisée,
- sommet / axe / extremum $\rightarrow$ forme canonique,
- calcul direct d'image $\rightarrow$ forme développée.
Exemple
On part de
$$
f(x)=x^2-6x+5.
$$
On peut écrire :
$$
f(x)=(x-1)(x-5)
\text{et}
f(x)=(x-3)^2-4.
$$
On lit alors :
- racines $1$ et $5$,
- axe $x=3$,
- sommet $S(3;-4)$.
Pièges fréquents
- Vérifier les signes lors du développement ou de la factorisation.
- Une forme factorisée n'existe pas toujours sur $\mathbb R$.
- Quand les racines existent, l'axe est leur moyenne.
Mini-check
- J'ai identifié la donnée recherchée.
- J'ai appliqué la méthode pas à pas sans sauter d'étape.
- J'ai vérifié signe, unité et ordre de grandeur.