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Fiche methode de Premiere specialite maths Fonctions et représentations
Passer entre les formes d'un polynôme du second degré
Fiche methode de Premiere specialite maths : Passer entre les formes d'un polynôme du second degré. Explications pas a pas et automatismes utiles.
Objectif
Savoir choisir et convertir la forme développée, factorisée ou canonique d'un polynôme du second degré selon la question posée.
Propriété / Idée clé
Un même polynôme du second degré peut s'écrire sous trois formes complémentaires, chacune mettant en valeur une information différente.
- forme développée : $ax^2+bx+c$ ;
- forme factorisée : $a(x-x_1)(x-x_2)$ si les racines existent ;
- forme canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$.
Méthode pas-à-pas
Un même polynôme du second degré peut s'écrire :
- sous forme développée : $ax^2+bx+c$,
- sous forme factorisée : $a(x-x_1)(x-x_2)$ si les racines existent,
- sous forme canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$.
On choisit la forme la plus utile selon la question :
- racines $\rightarrow$ forme factorisée,
- sommet / axe / extremum $\rightarrow$ forme canonique,
- calcul direct d'image $\rightarrow$ forme développée.
Exemple
On part de
$$
f(x)=x^2-6x+5.
$$
On peut écrire :
$$
f(x)=(x-1)(x-5)
\text{et}
f(x)=(x-3)^2-4.
$$
On lit alors :
- racines $1$ et $5$,
- axe $x=3$,
- sommet $S(3;-4)$.
Pièges fréquents
- Vérifier les signes lors du développement ou de la factorisation.
- Une forme factorisée n'existe pas toujours sur $\mathbb R$.
- Quand les racines existent, l'axe est leur moyenne.
Mini-check
- J'ai identifié la donnée recherchée.
- J'ai appliqué la méthode pas à pas sans sauter d'étape.
- J'ai vérifié signe, unité et ordre de grandeur.